13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель

Полная сист. вычетов: если с кажд. кл. вычетов по мод. m выбрать по 1му представителю, то получ-я сист. вычетов наз.полн. сист. вычетов по мод.m.

Приведенной системой вычетов по модулю m называется совокупность всех вычетов из полной системы, взаимно простых с модулем m .

Функция Эйлера , где — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, меньших и взаимно простых с ним.

Функция Эйлера.

о.1. функция f: Z Z называется мультипликативной, если ( m,n Z, НОД(m,n)=1) f(mn)=f(m)f(n).

о.2. функция f: N N назыв. функцией Эйлера, если она каждому натур.числу ставит в соответствие число чисел взаимно простых с ним и не превосходящих его.

О вычислении значения функции Эйлера.

Предлож.1: если pP => (p)=p-1

Т.2: p P и => ( )= (1- )= (p-1)

Если некоторые p и q взаимно просты, то pq будет взаимно просто со всеми числами, меньшими себя, кроме тех, которые кратны хотя бы одному делителю p или хотя бы одному делителю q: φ(pq) = φ(p)φ(q).

567 = 34⋅7, φ(567) = φ(34⋅7) = φ(34)⋅φ(7) = 54⋅6 = 324

1280 = 28⋅5, φ(1280) = φ(28⋅5) = φ(28)⋅φ(5) = 128⋅4 = 512

Линейные сравнения с одним неизвестным.

Пусть f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀ Z[x]. о.1. f(x) (mod m), a_n (mod m) (1) наз. сравнением n-ой ст.и с 1м неизвестным x.

о.2. с Z наз. реш. сравн-я (1), если оно уд-ет эт. сравн-ю. (пример: с=1, x²+x-2 (mod 3), 1+1-2 (mod 3); с=4, 16+4-2=18 (mod 3))

о.3. решить сравн-е (1) это значит указать все вычеты из ПСВ.по mod m, удовлетв.сравнению (1). о.4. числом или количеством реш-ий сравн-я(1) наз. число вычетов из ПСВ по mod m, удовл.сравн-ю (1). о.5. 2 сравн-ия от 1го и того же неизв-го наз-ся равносильными, если мн-ва их реш-й совпадают.

о.6. Сравн-е вида ax b(mod m) (1) a (mod m) наз. линейным сравн-ем с 1м неизвестным x.

Т.1. (о единственности решения):

Пусть НОД(a,m)=1, тогда сравнение (1) им.единств.решение.

Т.2. (об отсутствии решений):

Если НОД(a,m)=d 1 и b не d => ср-е(1) не им.решений.

Способы решения линейных сравнений.

Iсп. Испытание вычетов из ПСВ по mod m.

IIсп. Основан на переходе к равносильн.ср-ю. Обычно исп-т при эт. св-ва сравнений: 1) к люб. части ср-й м. + люб. число, кратное модулю; 2) обе части ср-я м. поделить на их общ. дел-ль взаимно простой с модулем.

IIIсп. Основан на Т.Эйлера

Предложение1. Если НОД(a,m)=1, то реш-е ср-я (1) можно найти по формуле

x

IVсп. Основан на решении цепных дробей

Предложение2. Пусть НОД(a,m)=1, то реш-е ср-я (1) можно найти по формуле x , - знаменатель предпосл.подход.дроби в разложении дроби кон.цепн.дробь.

Теорема Эйлера и Ферма.

Т.3: (Эйлера)

Пусть НОД(a,m)=1, a Z ,m N тогда

Док-во: пусть x₁,x₂,…, (1), НОД(a,m)=1, ax₁,ax₂,…,a (2)-прив.сист.вычет.по mod m; ax₁ ax₂ a x₁ x₂… (mod m);

x₁ x₂… x₁ x₂… (mod m); НОД(x₁,x₂,…, m)=1; ч.т.д.

Следствие 1.(теорема Ферма): p P, НОД(a,p) =1 =>