Извлечение корня.

0: К.Ч назыв. корнем n – ой степени из К. Ч z, если

Теорема:

Пусть . Тогда корень n –ой степени из К.Ч z имеет: 1) одно значение равное 0, если z=0 2) n – различных значений если , причем если

то

8. Матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций. Матричная алгебра.

п.1. Матрицы. Некоторые виды матриц.

Пусть , m, n .

Определение 1: всякая прямоугольная таблица из m × n действительных чисел, расположенных в m ее строках и в n ее столбцах, называется матрицей размера m × n над полем R .

a_ij R ; i=1,…,m; j=1,…,n;

Mat_nR – множество квадратных матриц размера n на n с действительными элементами.

Mat_m.n R – множество квадратных матриц размера m на n с действительными элементами.

Определение 2: Матрица, у которой число строк и столбцов равно n, называется квадратной n-ого порядка.

Mat_n .

Определение 3: Совокупность элементов а₁₁, а₂₂, a₃₃, …, а _nn Mat_nR называется главной диагональю данной матрицы. Совокупность элементов а_1,n, а_2,n-1, a_3,n-2, …, а _m,1 Mat_nR называется побочной диагональю данной матрицы.

Определение 4: Матрицы, у которых все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Определение 5: Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.

Определение 6: Квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а вне ее – нули, называется единичной матрицей. Единичная матрица – один из примеров диагональной матрицы.

Определение 7: Квадратная матрица, у которой выше (ниже) главной диагонали расположены нули, называется нижней (верхней) треугольной матрицей.

Определение 8: Две матрицы называются равными, если у них равны соответствующие элементы.

п.2. Элементарные (эквивалентные) преобразования матриц. Ступенчатая матрица.

Определение 9: Элементарные (эквивалентные) преобразования матрицы называются следующие преобразования:

1. перестановка местами любых двух строк матрицы;

2. умножение любой строки матрицы на любое действительное число, отличное от нуля;

3. прибавление к любой строке матрицы любой другой, умноженной на любое действительное число;

4. вписывание или удаление строки, состоящей из нулей.

Определение 10: Две матрицы называются эквивалентными, если одна получена из другой с помощью какого-нибудь элементарного преобразования или их цепочки.

А~В

Предложение: Бинарное отношение «быть эквивалентными матрицами», заданное на каком-нибудь множестве матриц, является отношением эквивалентности на этом множестве.

Определение 11: Ведущим элементом строки матрицы называется первый ее ненулевой элемент.

Определение 12: Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

1. все нулевые строчки матрицы (если они есть) расположены ниже ненулевых строк;

2. если в какой-то строке ведущий элемент расположен на k месте, то во всех следующих строках матрицы первые k элементы раны нулю.

Теорема (о приводимости матрицы к ступенчатому виду):

Всякую матрицу с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) можно привести к ступенчатому виду.

Матрицы и операции над ними.

1. Умножение матриц на действительные числа.

А Mat_m.nR

Определение1: Произведение матрицы А Mat_m.nR на действительное число α называется матрица αА Mat_m.nR, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы А на действительное число α.

Правило умножения матрицы на число:

Для того чтобы умножить матрицу на действительное число, нужно каждый элемент данной матрицы умножить на это число.

Основные свойства умножения числа на матрицу:

1. 1*А = А;

2. 0*А = ;

3. (–1)*А = – А ;

4. (αβ)А = α(βА);

Эти свойства верны для А Mat_m.nR , α,β R.

2. Сложение матриц.

А, В Mat_m.nR

Определение2: Суммой матриц А и В одного и того же размера называется матрица, обозначаемая А + В, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Следствие: Складывать можно матрицы только одних и тех же размеров.

Правило сложения матриц: Для того чтобы сложить две матрицы одинаковых размеров, нужно сложить соответствующие элементы этих матриц.

5. А + В = В + А;

6. А + (В + С) = (А + В) + С;

7. А + = А;

8. А + (–А) = ;

9. (α + β)А = αА + βА;

10. α(А + В) = αА + αВ;

для А, В, С Mat_m.nR , α,β R.

3. Умножение матриц.

Пусть А Mat_m,kR , В Mat_k.nR.

Определение3: Произведением А и В называется матрица, обозначаемая как

С Mat_k.nR, С = АВ, элементы которой находятся по правилу:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ikb_kj .

Правило умножения матриц:

Для того чтобы найти элемент c_ij матрицы С, нужно элементы i строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j столбца матрицы В и полученные результаты сложить.

11. А(ВС) = (АВ)С;

12. а) А(В + С) = АВ + АС;

b) (А + В)С = АС + ВС;

13. α(АВ) = (αА)В = А(αВ);

14. АЕ = ЕА = А, если А, Е Mat_nR;

для А, В, С Mat_m.nR , α,β R.

Теорема1: Множество всех матриц размера m на n  Mat_m.nR есть аддитивная коммутативная группа.

< Mat_m.nR , + >

Теорема2: Множество матриц Mat_m.nR является векторным пространством над полем R относительно сложения матриц и умножения матриц на действительное числа.

Теорема3: Множество квадратных матриц Mat_nR является кольцом с единицей.

Определители и их свойства.

п.1. Определитель n-ого порядка.

Определение1: Пусть А = (а₁₁), где А – матрица. Тогда определитель матрицы А называется число а₁₁.

Определение2: Пусть

, .

Тогда определителем матрицы А называется число, равное |А| = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂.

Определение3:Пусть

,

Тогда определитель матрицы А есть число, равное

|А| = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃.

Определение4: Пусть

,

Определителем матрицы А называется сумма n! слагаемых, содержащих n сомножителей, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А, причем произведению приписывается знак «+», если подстановка, составленная из индексов сомножителей является четной и знак «–», если такая подстановка является нечетной.

п.2. Свойства определителя.

1. Если в определителе матрицы n-ого порядка имеется строчка или столбец из нулей, то такой определитель равен нулю.

2. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

3. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Определение5: Матрицей, транспонированной к матрице А, называется такая матрица, которая получена из матрицы А заменой строк соответствующими столбцами.

4. Определители матрицы А и транспонированной к ней матрицы А^т равны.

5. Если в определителе поменять местами какие-нибудь две строчки, то знак определителя изменится на противоположный.

6. Если в какой-то строке определителя матрицы есть общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

7. Определитель матрицы, содержащий две одинаковые строчки, равен нулю.

8. Если в определителе матрицы имеются две пропорциональные строчки, то определитель матрицы равен нулю.

9. Если в определителе матрицы есть строка, в которой каждый элемент есть сумма двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у которых все строчки такие же, как у данного, кроме строки, где каждый элемент есть сумма двух слагаемых. В первом определителе в этой строке будут расположены первые слагаемые, а во втором в этой строчке – вторые слагаемые.

10. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то строке прибавить любую другую строчку, умноженную на какое-то действительное число.

11. Если в определителе матрицы какая-то строка есть линейная комбинация других строк, то этот определитель равен нулю.

12. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то строке прибавить линейную комбинацию других строк.

Разложение определителя по элементам строки (столбца).

п.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.

Пусть есть Δ – определитель n-ого порядка.

Определение1: Минором элемента а_ij Δ называется определитель из определителя , вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца.

Определение2: Алгебраическим дополнением элемента а_ij Δ называется минор этого определителя, взятый со знаком (-1)^i+j.

A_ij = (-1)^i+j M_ij.

Теорема1(о каждом члене произведения элемента определителя на его алгебраическое дополнение):

Каждый член произведения а_ijA_ij является членом определителя Δ с тем же самым знаком.

п.2. Разложение определителей по элементам строки (столбца).

Теорема2(об определителе, у которого все элементы какой-то строки равны нулю кроме одного):

Если в определителе Δ все элементы i-ой строки равны нулю, кроме элемента а_ij, то этот определитель Δ равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Δ = а_ijA_ij.

Док-во: Все члены в определителе, кроме быть может одного а_ij равны нулю. Если записать произведение всех членов определителя, то, выделив член а_ij, а остальное произведение будет являться его дополнением, и по теореме 1, является членом определителя с тем же знаком, значит Δ = а_ijA_ij.

Теорема3(о разложении определителя по элементам строки(столбца)):

Какую бы строчку (столбец) определителя Δ мы не взяли он (определитель) равен сумме произведений элементов этой строки на их алгебраические дополнения.

Теорема4(о сумме произведений элементов строки(столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки):

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки определителя равна нулю.

Обратные матрицы.

п.1. Обратная матрица. Обратимая матрица.

Определение1:

Пусть А, В Mat_nR.

Матрица В называется обратной к матрице А, если А*В = В*А = Е, где Е – единичная матрица.

Определение2: Матрица А называется обратимой, если существует матрица обратная ей.

Теорема1(о единственности обратной матрицы):

Если матрица А является обратимой, то для нее существует единственная ей обратная матрица.

Док-во: допустим, что для матрицы А есть две обратные матрицы А₁ и А₂. Тогда

Теорема2(об определителе произведения матриц):

Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равно произведению определителей данных матриц.

|А*В| = |А|*|В| ,где А,В Mat_nR.

Определение3: Матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, и вырожденной, если определитель равен нулю.

Теорема3(критерий обратимости матрицы):

Матрица А является обратимой тогда и только тогда, когда она является невырожденной, то есть ее определитель не равен нулю.