Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме

+ Сложение

- Вычитание

* Умножение

/ Деление

Геометрическое представление комплексных чисел.

К омплексное число z в декартовой прямоугольной с.к определяется парой действительных чисел Между множеством точек пл и множеством К.Ч существует взаимнооднозначное соответствие.

Но иногда К.Ч удобнее изображать не точками, а радиус – векторами с началом в т (0;0) и концом в т А(а;b)

Пл ОХУ назыв. Комплексной пл, ось ОХ – действительной осью, ось ОУ – мнимой

Модуль и аргумент комплексного числа.

М одулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z (записывается | z |) определяется выражением . Часто обозначается буквами r или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля:

1) , причём тогда и только тогда, когда ;

2) (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где .

5) Для пары комплексных чисел z₁ и z₂ модуль их разности | z₁ − z₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается .

Из этого определения следует, что ; ; .

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.

Главным значением аргумента называется такое значение , что или .

Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.

+ Сложение:	- Вычитание

Тригонометрическая форма комплексного числа. Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Представление К. Ч в таком виде назыв. тригонометрической формой комплексного числа, при этом – модуль к. ч, а - аргумент к. ч z

( ). Заметим что

Теорема 1:

Любое К. Ч z можно записать в тригонометрической форме, причем:

1) если z=0, то

2) если , то его модуль определяется однозначно по формуле а аргумент определяется с точностью до слагаемого кратного по формулам

Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

Теорема 2:

Пусть К.Ч записаны в тригонометрической форме: ; ; . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2)

3)

Доказательство:

3) ММИ:

а) n=2

б) Предположим, что утверждение верно для n=k

. Докажем что утверждение верно для n=k+1

Данное утверждение верно для любого натурального n

Правила:

1) Для того чтобы найти произведение двух К.Ч, записанных в тригонометрической форме нужно перемножить их модули, а аргументы сложить

2) Для того чтобы найти частное двух К.Ч, записанных в тригонометрической форме нужно модуль делимого поделить на модуль делителя и из аргумента делимого вычесть аргумент делителя

3) Для того чтобы К.Ч, записанное в тригонометрической форме возвести в n – ю степень ( ) нужно его модуль возвести в n – ю, а аргумент умножить на n.