6. Поле. Простейшие св-ва полей. Пр-ры полей.

О1: , содержащее хотя бы 2 различных элемента с заданными на нем 2 бинарными операциями:+, наз-ся полем, если оно удовл-ет сл.усл.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

О2: : , содержащее хотя бы 2 различных элемента с заданными на нем 2 бинарными операциями:+, наз-ся полем, если1)<P,+, >-ком. кольцо с 1. 2)

О3: , содержащее хотя бы 2 различных элемента с заданными на нем 2 бинарными операциями:+, наз-ся полем, если 1)P-аддит.ком группа. 2) < >-мул.ком. гр. 3) .

Примеры:<Q,+, >,<R,+, >-поля, <Z,+, >,<2Z,+, >-не поля.

О: ,Н- подмн-во P наз-ся подполем поля P, если оно само явл-ся полем отн-но бин-х операций:+, , заданных в поле P. Пример: .

Критерий: Для того, чтобы явл-ся подполем поля P

1)H-замкнуто отн-но +( )(a+b )

2)H-замкнуто отн-но ( )(ab

3)H-замкнуто отн-но взятия прот. эл. ( )( a

4) H-замкнуто отн-но взятия обр. эл. ( )(

Док-во:1)необх. Н-подполе, след. поле, след. 1)-4) выполн.

2)дост.1) из 1) и 2) следует опер сложения и умн. бин. на Н. 2)Н подмножество поля Р след.для эл. Н, как и для эл.Р вып. ассоц. и ком. отн-но умн-я и сл-я, а также вып-ся дист.закон умн.отн.сл. 3)из 3) ) следует ( )( a 4) из 4) ) следует ( )(

5) 0

( )по 3)( a

a+(-a) ,a+(-a)=0. Сл.0

6) 1 )по 4) ( ,a a

Свойства полей: т.к. любое поле явл-ся ком. кол. с 1, то все св-ва таких колец явл-ся св-ми полей:

1) ) 5) . 6)

8)

9) ( )(

10) )

11)

12)ab=0 v b=0. Док-во:доп. Что это не так , т.е. .

ab=0 прот-е, предп-е неверно.

Изоморфизм полей.

О: Отобр-е

1. 

2. 

О: наз-ся изом-ми, если хотя бы один из изом-мов поля

Пример: мн-во действ. чисел и R={<a,0>, a-дейст.}

Св-ва:

4)отн-е изом, зад. на каком-нибудь мн-ве полей явл-ся отн-м экв-ти на данном мн-ве.

5)Изоморфизм взаимообратный элемент переводит во взаимообратный элемент

Док-во: Док-во:

7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.

01: Полем комплексных чисел назыв. поле С, удовлетворяющее следующим условиям:

1)

2) Целевое требование:

3)

Построим модель к.ч

Теорема 1: Алгебра, состоящая из явл. полем

Доказательство:

Доказательство согласно определению поля

1) Операции + и заданы

2) В данном множестве выполняются коммутативные законы относ. + и , ассоциативные законы относ. + и и дистрибутивный

3) Роль нуля играет пара

4)

5) В данном множестве роль единицы играет пара

6)

Вывод: Данное множество явл. полем

Теорема 2: Множество R явл. подполем поля С

Теорема 3: В поле С разрешимо ур - ие

Теорема об алгебраической форме комплексного числа

Любое к.ч z можно представить как где и , т.е

Доказательство:

=ствительные и жество явл. полем0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

поле С удовлетворяет требованию 3 01