5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.

Отношение делимости в кольце целых чисел.

Пусть .

О.1: Будем гов., что дел. на , если , такие, что делитель, делимое, частное.

Пр-ие1: частное от деления a на b определ. однозначно.

д-во: предположим, что . ч.т.д.

О.2: опр. бинарное отношение «делиться на», к-ое обл-ет рядом св-в.

Свойства делимости.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

док-во: пусть

неверно. противоречие, неверно. ч.т.д.

10. 

док-во: ч.т.д.

11. 

Деление с остатком.

О.1: Буд. гов., что с остатком, если такие, что 1) 2) . a – делимое , b – делитель, h – неполное частное, r – остаток.

Т.(о дел. с остатком): для одновр. сущ. ед. пара цел. чисел h, r удовл. условиям 0.1.

док-во: I. (сущ.) 1) . Выпишем посл-ть целых чисел кратных b.

пусть bh явл. наиб. из чисел не превосх. число , тогда

2) . 1.

тогда мы имеем 1) случай.

2.

Объединяя 2 случая удовл. условиям О.1 1) и 2).

II. (единств.) Предпол., что кроме h, r сущ. еще одна пара чисел удовл. усл. О.1.

если бы , то . ч.т.д.

О.2: буд. гов., что число если остаток от деления равен 0.

Наибольший общий делитель.

О.1: число наз. общим дел. чисел если каждые из чисел

о.2: число наз. НОД чисел a, b если 1) ; 2)

пр-ие1: НОД 2-ух целых чисел определ. однозначно с точностью до знака.

док-во: допустим, что есть 2 НОД.

d – НОД a и b; d₁ – НОД a и b.

ч.т.д.

Алгоритм Евклида.

пусть

1. 

если процесс дел. закончен. если процесс продолжен.

2. 

если процесс дел. закончен. если процесс продолжен.

3. 

если процесс дел. закончен. если процесс продолжен.

и т.д.

запишем 2 последних шага

k)

k+1)

процесс конечен, потому что в рез-те делений мы получаем посл-ть не отриц. целых чисел , на каком-то шаге окажется 0.

Пр-ие2: если .

пр-ие3: пусть , где , тогда .

Т.1(о нах. НОД 2-ух цел. чисел): для любых 2-ух целых чисел одновременно не = 0, сущ. их НОД равный последнему не нулевому остатку в алг. Евкл., примененному к 2-ум данным числам.

Свойства НОД:

1. НОД 2-ух целых чисел определ. однозначно с точностью до знака.

2. наиб. положит. общий делитель явл. НОД.

3. если .

4. (о лин. предст. НОД) если

5. (о нах. НОД k – целых чисел) пусть и , тогда .

Наименьшее общее кратное 2-ух целых чисел.

о.1: целое число m наз. ОК чисел если .

о.2: наз. НОК чисел если 1) k – ОК a и b; 2)

Т.(о связи НОК и НОД 2-ух цел. чисел): пусть , тогда НОК( )=

док-во. . рассмотрим . пользуемся опр. НОК.

1. k – ОК a и b.

.

2. 

;

ч.т.д.

Свойства НОК.

1. НОК 2-ух целых чисел определяется однозначно с точностью до знака.

2. наименьшее положит. из ОК целых чисел a,b равен их НОК этих чисел.

3. 

4. если числа

5. a_1,a_2,…,a_n∈Z и k_1=НОК(a_1,a_2) и НОК(k_1,a_2 )=k_2,…, НОК(k_(n-2),a_n )=k_(n-1), тогда НОК(a_1,a_2,…,a_n)= k_(n-1)