Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
алгебра 1-8.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.68 Mб
Скачать

4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.

п.1. Кольцо.

Определение 1: Не пустое подмножество К множества G, с заданными на нем двумя бинарными операциями сложение, умножение –называется кольцо, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1). для любых а, b принадлежащих а+в=в+а.

2). для любых а, b, с принадлежащих а+(в+с)=(а+в)+с.

3). существует 0 принадлежащий К, такой что для любого а принадлежащего К а+0=а

4). для любого а принадлежащего К, существует –а принадлежащее К, такое что а+(-а)=0

5). для любых а, b, с принадлежащих а (вс)= (ав)с.

6). для любых а, b, с принадлежащих а) а(в+с)=ав+ас в) (а+в)с=ас+вс.

Определение 3: Кольцо К называется коммутативным, если для любых а, b принадлежащих К: ав=ва .

Определение 4: Кольцо К называется кольцом с единицей, если существует 1 принадлежащая К, что для любого а принадлежащего К: а∙1=1∙а=а.

Определение 5:Кольцо К называется коммутативным кольцом с единицей, если в нем выполняется коммутативный закон умножения, и есть единица.

Примеры:

<Z,+,∙> - <Q,+,∙>- примеры коммуникативных колец с 1.<R,+,∙>- <2Z,+,∙> <{0},+,∙>

п.2. свойства колец.

Так как всякое кольцо является аддитивной коммутативной группой, то все свойства таких групп являются свойствами колец.

  1. Нуль в кольце единственен

  2. В кольце для каждого элемента существует единственный противоположный ему элемент.

  3. Закон сокращения (для любых а, b, с принадлежащих К): если а+с=b+с, то а=b.

  4. В группе однозначно разрешимо уравнение (для любых а, b принадлежащих G):

    1. а+х=b

  5. для любого а принадлежащего К: а∙0=0∙а=0

доказательство:

Док-во:

,

  1. для любых а, b принадлежащих К: (-а)b=а(-b)=-аb

  2. для любых а, b, с принадлежащих К: а(b-с)=аb-ас

  3. если в К имеется единица, то она единственна.

Подкольца.

Определение: Не пустое подмножество Н множества К называется подкольцом кольца К если оно само является кольцом относительно операций сложения и умножения заданных в кольце К.

Пример подкольца: 1) , 2) <2Z,+, > <Z,+, > <Q,+, > <R,+, > <0,+, >

Критерий подкольца:

Для того чтобы подмножество было подкольцом кольца Z необ.чтобы:

1) H должно быть замкнуто относительно бинарной операции сложение заданной в кольце Z : ( )( )

2) ) H должно быть замкнуто относительно бинарной операции умножение заданной в кольце Z : ( )( )

3)H должно быть замкнуто относительно взятия противоположного элемента ( )( )

Док-во:

1.Необходимость

, 1) - 3) вып-ся в H ?

H является подкольцом кольца Z, то по определению кольца, оно само является кольцом 1) - 3) вып-ся в H

2. Достаточность 1) -3) вып-ся в H ?

а) из условий 1)-2) операции сложение и умножение явл-ся бинар.в H

б) , - группа. В группе G для любых трех элементов, а значит и для элементов в H вып-ся ассоциативный закон

в)из условия 3) для каждого элемента из H существует ему противоположный принадлежащий H. Покажем , что есть

H – есть кольцо относительно бин.отн., значит H явл-ся подкольцом кольца Z

п.3: Гомоморфизм и изоморфизм колец.

Определение 6: Отображение φ множества К1 на множество К2 называется гомоморфизмом, если:

  1. φ сохраняет бинарную операцию + заданную в К1

  2. φ сохраняет бинарную операцию ∙ заданную в К1

Определение 7: Отображение φ множества К1 на множество К2 называется изоморфизмом если:

  1. φ - биекция

  2. φ сохраняет бинарную операцию + заданную в К1

  3. φ сохраняет бинарную операцию ∙ заданную в К1

Определение 8: Кольца К1 и К2 называются изоморфными если существует хотя бы один изоморфизм.

Свойства изоморфизма:

Так как всякое кольцо является аддитивной коммутативной группой, то все свойства изоморфизма таких групп являются свойствами изоморфизма колец

  1. φ нулевой элемент кольца К1 переводит в нулевой элемент кольца К2

  2. φ взаимно противоположные элементы группы К1 переводит в соответствующие взаимно противоположные элементы группы К2

  3. Отношение изоморфизма заданное на множестве колец является отношением эквивалентности на этом множестве.

  4. Если К1 и К2 изоморфны и в К1 есть единица, то изоморфизм φ единицу кольца К1 переводит в единицу кольца К2

Док-во: ,

?

Идеалы кольца.

п.1. Идеал кольца.

Определение1: Не пустое подмножество множества К называется идеалом кольца К, если оно удовлетворяет условиям:

  1. ( a,b ) ( a + b );

  2. ( a,b ) ( a * b );

  3. 1) ( a ) ( к К) ( a * к ).

Свойства идеалов:

  1. Всякий кольца К является подкольцом кольца К.

  2. Нулевой элемент кольца К принадлежит любому идеалу кольца К.

  3. Если единица кольца К принадлежит идеалу кольца К, то этот идеал и кольцо К равны.

п.2. Операции над идеалами.

Определение2: Пересечение идеалов 1 и 2 называется множество всех элементов из кольца К которые принадлежат и 1 и 2.

Определение3: Суммой идеалов 1 и 2 называется множество всех элементов х из кольца К которые представляются в виде х1 + х2 где х1 1 и х2 2

Определение4: Произведением идеалов 1 и 2 называется множество всех элементов х из кольца К которые представляются в виде х = xi * yi где хi 1 и yi 2, n N, n>1.

Предложение1: Если 1 и 2 являются идеалами кольца К, то

1 2 – идеал кольца К; 1 + 2 – идеал кольца К; 1 * 2 – идеал кольца К.

Свойства над операциями идеалов:

1 2 = 2 1; 1 ( 2 3) = ( 1 2) 3; = ; К = ; 1 * 2 = 2 * 1;

1 * ( 2 * 3) = ( 1 * 2) * 3; * = ; * К = ; 1 + 2 = 2 + 1; 1 + ( 2 + 3) = ( 1 + 2) + 3: