
- •1.Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2.Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •2.2 Свойства групп:
- •3. Законы сокращения:
- •3. Сравнимость элемента группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Факторгруппы.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле. Простейшие св-ва полей. Пр-ры полей.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Теорема об алгебраической форме комплексного числа
- •Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.
- •Извлечение корня.
- •8. Матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций. Матричная алгебра.
4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
п.1. Кольцо.
Определение 1: Не пустое подмножество К множества G, с заданными на нем двумя бинарными операциями сложение, умножение –называется кольцо, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1). для любых а, b принадлежащих а+в=в+а.
2). для любых а, b, с принадлежащих а+(в+с)=(а+в)+с.
3). существует 0 принадлежащий К, такой что для любого а принадлежащего К а+0=а
4). для любого а принадлежащего К, существует –а принадлежащее К, такое что а+(-а)=0
5). для любых а, b, с принадлежащих а (вс)= (ав)с.
6). для любых а, b, с принадлежащих а) а(в+с)=ав+ас в) (а+в)с=ас+вс.
Определение 3: Кольцо К называется коммутативным, если для любых а, b принадлежащих К: ав=ва .
Определение 4: Кольцо К называется кольцом с единицей, если существует 1 принадлежащая К, что для любого а принадлежащего К: а∙1=1∙а=а.
Определение 5:Кольцо К называется коммутативным кольцом с единицей, если в нем выполняется коммутативный закон умножения, и есть единица.
Примеры:
<Z,+,∙> - <Q,+,∙>- примеры коммуникативных колец с 1.<R,+,∙>- <2Z,+,∙> <{0},+,∙>
п.2. свойства колец.
Так как всякое кольцо является аддитивной коммутативной группой, то все свойства таких групп являются свойствами колец.
Нуль в кольце единственен
В кольце для каждого элемента существует единственный противоположный ему элемент.
Закон сокращения (для любых а, b, с принадлежащих К): если а+с=b+с, то а=b.
В группе однозначно разрешимо уравнение (для любых а, b принадлежащих G):
а+х=b
для любого а принадлежащего К: а∙0=0∙а=0
доказательство:
Док-во:
,
для любых а, b принадлежащих К: (-а)b=а(-b)=-аb
для любых а, b, с принадлежащих К: а(b-с)=аb-ас
если в К имеется единица, то она единственна.
Подкольца.
Определение: Не пустое подмножество Н множества К называется подкольцом кольца К если оно само является кольцом относительно операций сложения и умножения заданных в кольце К.
Пример
подкольца: 1)
,
2)
<2Z,+,
>
<Z,+,
>
<Q,+,
>
<R,+,
>
<0,+,
>
Критерий подкольца:
Для
того чтобы подмножество
было подкольцом кольца Z
необ.чтобы:
1)
H
должно быть замкнуто относительно
бинарной операции сложение заданной в
кольце Z
: (
)(
)
2)
) H
должно быть замкнуто относительно
бинарной операции умножение заданной
в кольце Z
: (
)(
)
3)H
должно быть замкнуто относительно
взятия противоположного элемента (
)(
)
Док-во:
1.Необходимость
,
1)
- 3) вып-ся в H
?
H является подкольцом кольца Z, то по определению кольца, оно само является кольцом 1) - 3) вып-ся в H
2. Достаточность 1) -3) вып-ся в H ?
а) из условий 1)-2) операции сложение и умножение явл-ся бинар.в H
б)
,
-
группа. В группе G
для любых трех элементов, а значит и для
элементов в H
вып-ся ассоциативный закон
в)из
условия 3) для каждого элемента из H
существует ему противоположный
принадлежащий H.
Покажем , что есть
H – есть кольцо относительно бин.отн., значит H явл-ся подкольцом кольца Z
п.3: Гомоморфизм и изоморфизм колец.
Определение 6: Отображение φ множества К1 на множество К2 называется гомоморфизмом, если:
φ сохраняет бинарную операцию + заданную в К1
φ сохраняет бинарную операцию ∙ заданную в К1
Определение 7: Отображение φ множества К1 на множество К2 называется изоморфизмом если:
φ - биекция
φ сохраняет бинарную операцию + заданную в К1
φ сохраняет бинарную операцию ∙ заданную в К1
Определение 8: Кольца К1 и К2 называются изоморфными если существует хотя бы один изоморфизм.
Свойства изоморфизма:
Так как всякое кольцо является аддитивной коммутативной группой, то все свойства изоморфизма таких групп являются свойствами изоморфизма колец
φ нулевой элемент кольца К1 переводит в нулевой элемент кольца К2
φ взаимно противоположные элементы группы К1 переводит в соответствующие взаимно противоположные элементы группы К2
Отношение изоморфизма заданное на множестве колец является отношением эквивалентности на этом множестве.
Если К1 и К2 изоморфны и в К1 есть единица, то изоморфизм φ единицу кольца К1 переводит в единицу кольца К2
Док-во:
,
?
Идеалы кольца.
п.1. Идеал кольца.
Определение1: Не пустое подмножество
множества К называется идеалом
кольца К, если оно удовлетворяет
условиям:
( a,b ) ( a + b );
( a,b ) ( a * b );
1) ( a ) ( к К) ( a * к ).
Свойства идеалов:
Всякий кольца К является подкольцом кольца К.
Нулевой элемент кольца К принадлежит любому идеалу кольца К.
Если единица кольца К принадлежит идеалу кольца К, то этот идеал и кольцо К равны.
п.2. Операции над идеалами.
Определение2: Пересечение идеалов 1 и 2 называется множество всех элементов из кольца К которые принадлежат и 1 и 2.
Определение3: Суммой идеалов 1 и 2 называется множество всех элементов х из кольца К которые представляются в виде х1 + х2 где х1 1 и х2 2
Определение4: Произведением
идеалов
1
и
2
называется множество всех элементов х
из кольца К которые представляются
в виде х =
xi
* yi
где хi
1
и yi
2,
n
N, n>1.
Предложение1: Если 1 и 2 являются идеалами кольца К, то
1
2
– идеал кольца К;
1
+
2
– идеал кольца К;
1
*
2
– идеал кольца К.
Свойства над операциями идеалов:
1
2
=
2
1;
1
(
2
3)
= (
1
2)
3;
=
;
К =
;
1
*
2
=
2
*
1;
1 * ( 2 * 3) = ( 1 * 2) * 3; * = ; * К = ; 1 + 2 = 2 + 1; 1 + ( 2 + 3) = ( 1 + 2) + 3: