4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.

п.1. Кольцо.

Определение 1: Не пустое подмножество К множества G, с заданными на нем двумя бинарными операциями сложение, умножение –называется кольцо, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1). для любых а, b принадлежащих а+в=в+а.

2). для любых а, b, с принадлежащих а+(в+с)=(а+в)+с.

3). существует 0 принадлежащий К, такой что для любого а принадлежащего К а+0=а

4). для любого а принадлежащего К, существует –а принадлежащее К, такое что а+(-а)=0

5). для любых а, b, с принадлежащих а (вс)= (ав)с.

6). для любых а, b, с принадлежащих а) а(в+с)=ав+ас в) (а+в)с=ас+вс.

Определение 3: Кольцо К называется коммутативным, если для любых а, b принадлежащих К: ав=ва .

Определение 4: Кольцо К называется кольцом с единицей, если существует 1 принадлежащая К, что для любого а принадлежащего К: а∙1=1∙а=а.

Определение 5:Кольцо К называется коммутативным кольцом с единицей, если в нем выполняется коммутативный закон умножения, и есть единица.

Примеры:

<Z,+,∙> - <Q,+,∙>- примеры коммуникативных колец с 1.<R,+,∙>- <2Z,+,∙> <{0},+,∙>

п.2. свойства колец.

Так как всякое кольцо является аддитивной коммутативной группой, то все свойства таких групп являются свойствами колец.

1. Нуль в кольце единственен

2. В кольце для каждого элемента существует единственный противоположный ему элемент.

3. Закон сокращения (для любых а, b, с принадлежащих К): если а+с=b+с, то а=b.

4. В группе однозначно разрешимо уравнение (для любых а, b принадлежащих G):

   1. а+х=b

5. для любого а принадлежащего К: а∙0=0∙а=0

доказательство:

Док-во:

,

6. для любых а, b принадлежащих К: (-а)b=а(-b)=-аb

7. для любых а, b, с принадлежащих К: а(b-с)=аb-ас

8. если в К имеется единица, то она единственна.

Подкольца.

Определение: Не пустое подмножество Н множества К называется подкольцом кольца К если оно само является кольцом относительно операций сложения и умножения заданных в кольце К.

Пример подкольца: 1) , 2) <2Z,+, > <Z,+, > <Q,+, > <R,+, > <0,+, >

Критерий подкольца:

Для того чтобы подмножество было подкольцом кольца Z необ.чтобы:

1) H должно быть замкнуто относительно бинарной операции сложение заданной в кольце Z : ( )( )

2) ) H должно быть замкнуто относительно бинарной операции умножение заданной в кольце Z : ( )( )

3)H должно быть замкнуто относительно взятия противоположного элемента ( )( )

Док-во:

1.Необходимость

, 1) - 3) вып-ся в H ?

H является подкольцом кольца Z, то по определению кольца, оно само является кольцом 1) - 3) вып-ся в H

2. Достаточность 1) -3) вып-ся в H ?

а) из условий 1)-2) операции сложение и умножение явл-ся бинар.в H

б) , - группа. В группе G для любых трех элементов, а значит и для элементов в H вып-ся ассоциативный закон

в)из условия 3) для каждого элемента из H существует ему противоположный принадлежащий H. Покажем , что есть

H – есть кольцо относительно бин.отн., значит H явл-ся подкольцом кольца Z

п.3: Гомоморфизм и изоморфизм колец.

Определение 6: Отображение φ множества К₁ на множество К₂ называется гомоморфизмом, если:

1. φ сохраняет бинарную операцию + заданную в К₁

2. φ сохраняет бинарную операцию ∙ заданную в К₁

Определение 7: Отображение φ множества К₁ на множество К₂ называется изоморфизмом если:

1. φ - биекция

2. φ сохраняет бинарную операцию + заданную в К₁

3. φ сохраняет бинарную операцию ∙ заданную в К₁

Определение 8: Кольца К₁ и К₂ называются изоморфными если существует хотя бы один изоморфизм.

Свойства изоморфизма:

Так как всякое кольцо является аддитивной коммутативной группой, то все свойства изоморфизма таких групп являются свойствами изоморфизма колец

1. φ нулевой элемент кольца К₁ переводит в нулевой элемент кольца К₂

2. φ взаимно противоположные элементы группы К₁ переводит в соответствующие взаимно противоположные элементы группы К₂

3. Отношение изоморфизма заданное на множестве колец является отношением эквивалентности на этом множестве.

4. Если К₁ и К₂ изоморфны и в К₁ есть единица, то изоморфизм φ единицу кольца К₁ переводит в единицу кольца К₂

Док-во: ,

?

Идеалы кольца.

п.1. Идеал кольца.

Определение1: Не пустое подмножество множества К называется идеалом кольца К, если оно удовлетворяет условиям:

1. ( a,b ) ( a + b );

2. ( a,b ) ( a * b );

3. 1) ( a ) ( к К) ( a * к ).

Свойства идеалов:

1. Всякий кольца К является подкольцом кольца К.

2. Нулевой элемент кольца К принадлежит любому идеалу кольца К.

3. Если единица кольца К принадлежит идеалу кольца К, то этот идеал и кольцо К равны.

п.2. Операции над идеалами.

Определение2: Пересечение идеалов ₁ и ₂ называется множество всех элементов из кольца К которые принадлежат и ₁ и ₂.

Определение3: Суммой идеалов ₁ и ₂ называется множество всех элементов х из кольца К которые представляются в виде х₁ + х₂ где х_{1 1} и х_{2 2}

Определение4: Произведением идеалов ₁ и ₂ называется множество всех элементов х из кольца К которые представляются в виде х = x_{i *} y_i где х_{i 1} и y_{i 2}, n N, n>1.

Предложение1: Если ₁ и ₂ являются идеалами кольца К, то

_{1 2} – идеал кольца К; ₁ + ₂ – идеал кольца К; ₁ * ₂ – идеал кольца К.

Свойства над операциями идеалов:

_{1 2} = _{2 1}; ₁ ( _{2 3}) = ( _{1 2}) ₃; = ; К = ; ₁ * ₂ = ₂ * ₁;

₁ * ( ₂ * ₃) = ( ₁ * ₂) * ₃; * = ; * К = ; ₁ + ₂ = ₂ + ₁; ₁ + ( ₂ + ₃) = ( ₁ + ₂) + ₃: