3. Сравнимость элемента группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Факторгруппы.

Отношение правой эквивалентности группы по подгруппе. Классы смежности.

п.1. Отношение правой эквивалентности группы по подгруппе.

Определение1: Будем говорит что a G правоэквивалентен элементу b G по подгруппе Н если

a_*b ^-1 H.

Определение2: Будем говорит что a G правоэквивалентен элементу b G по подгруппе Н если h Н, что a=h_*b.

Предложение1: Определение1 и определение2 равносильны.

Предложение2: Отношение правой эквивалентности группы G по подгруппе Н является отношением эквивалентности на множестве G.

Доказательство:

Рефлективность:

Симметричность:

Транзитивность:

, то то то

п.2. Класс смежности. Свойства классов смежности.

Вывод: Т.к. отношение правой эквивалентности группы G по подгруппе Н является отношением эквивалентности на множестве G, то она как и всякое отношение эквивалентности порождает разбиение множества G на классы эквивалентности, которые называются правыми классам смежности.

Свойства правых классов смежности:

1. Если группа G совпадает с Н, то любые два элемента из группы G правоэквивалентны по подгруппе Н;

2. Если Н={1}, то каждый правый класс смежности состоит из одного элемента;

3. Правый класс смежности, содержащий единицу группы G, совпадает с подгруппой Н;

4. Если правый класс смежности содержит элемент g G, то его класс смежности можно записать как H_*g;

5. Все правые классы смежности имеют одну и ту же мощность, т.е. количество элементов одинаковое.

п.3. Правостороннее разложение группы по подгруппе.

Теорема Лагранжа: Порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Определение: Представление группы G в виде объединения классов смежности называется правостороннее разложение группы G по подгруппе Н.

Нормальные делители.

п.1. Нормальные делители .

Определение1: Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем группы G, если g G; Hg=gH.

Определение2: Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем группы G, если g G; h H => g^-1_*h_*g H.

Определение3: Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем группы G, если правостороннее разложение группы G по подгруппе Н совпадает с левосторонним разложением группы G по подгруппе Н.

Предложение1: Определения 1-3 равносильны.

п.2.: Фактор группа.

Определение4: Произведение классов смежности Hg_i и Hg_j называется классом смежности, содержащий произведение этих элементов.

Предложение2: Определение4 корректно т.е. не зависит от выбора класса смежности.

Теорема1: Множество классов смежности группы G по нормальному делителю Н является мультипликативной группой относительно операции умножения введенной выше.

Доказательство:

Из определения 4 следует, что умножение есть бинарная операция.

Покажем, что на данном множестве выполняется ассоциативный закон.

=

Покажем, что в данном множестве есть единичный элемент

Подгруппа H играет роль единицы

Аналогично проверяется другое произведение

Множество классов смежности по нормальному делителю является группой относительно умножения.

Вывод: Множество классов смежности группы G по нормальному делителю Н есть группа.

Определение5: Группа вида <^G/_H, * > называется фактор группой группы G по нормальному делителю Н.

Свойства фактор группы:

1. Если группа G является коммутативной, то и фактор группы, группы G так же является коммутативным.

2. Если группа G является циклической, то и фактор группы, группы G так же является циклическим.