2.Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гоморфизмы и изоморфизмы групп.
2.1.
Пусть дано
.
Опр.1 с заданной на нем * - бинарной операцией называется полугруппой, если
1) 
Опр.2 с заданной на нем * - бинарной операцией называется моноидом, если
1) 
,
;
2) ∃ 𝑒∈𝐺∀𝑎∈𝐺(𝑎∗𝑒=𝑒∗𝑎=𝑎) .
Опр.3
с заданной на нем * - бинарной
операцией
называется группой, если
1)
,
;
2) ∃ 𝑒∈𝐺∀𝑎∈𝐺(𝑎∗𝑒=𝑒∗𝑎=𝑎);
3)
,
где a’
– симметричный
элементу a
относительно бинарной операции *.
(
группа является моноидом, 
моноид
является полугруппой).
Примеры:
1.
N
; + множество является полугруппой,
моноидом, группой не будет 2.
N;
полугруппа, моноид, но не группа 3.
<Z;
+> полугруппа, моноид, аддитивная группа
4.
<Z;
-> не полугруппа, не моноид, не группа
5.
Z;
полугруппа, моноид, но не группа.
Введем обозначения: <G; *> = G .
2.2 Свойства групп:
1.
Нейтральный элемент в группе G
единственен,
т.е. 
.
Док – во:
предположим, что в G
e1
и e2
– нейтральные
элементы и докажем e1
=e2=
e.
e1
*e2=
e2(e1
–нейтральный
элемент), также e1*e2=
e1(e2
–нейтральный элемент), отсюда e1
=e2=
e.
доказано.
2. 
.
Док –во:
пусть для 
1
и
2
–симметричные к 
,
отсюда
1
*
*
2=
(
1
*
)*
2=e*
2=
2,
также
1
*(
*
2)=
1
*e=
1
,
следовательно
1
=
2=
.
доказано.
3. Законы сокращения:
4.
В группе G
однозначно разрешимы следующие
уравнения:
.
Опр.4
Группа G
с заданной
бинарной операцией называется
коммутативной, если 
.
(коммутативный закон)
2.3.
Пусть есть G
=<G,*>;
.
Опр.
Непустое подмножество H
называется подгруппой множества G,
если оно само является группой относительно
бинарной операции *, заданной группой
G.
,
e
–нейтральный элемент группы G.
H
– подгруппа группы G.
Теорема(критерий
подгруппы): Для того, чтобы
было
необходимо
и достаточно, чтобы H
удовлетворяло следующим 2 условиям: 1)
H
должно быть замкнуто относительно б.о.
*, заданной группой G,
т.е.
.
2)
H
замкнуто относительно взятия
симметрического элемента, т.е.
.
Док –во:
I
необходимость:
-группа
1)
и 2)
выполняются в H.
II
достаточность:
1)
и 2)
выполняются
*
-б.о. не только в G,
но и в H,
значит <G,*>
-группа; в группе G
для
3-х
элементов выполняется ассоциативный
закон, следовательно и для элементов
H.
Из выполнения 2)
для
каждого элемента из H
есть ему симметричный из H.
Покажем, что
.
.
Таким образом, H
–группа относительно б.о. *, т.е. <H,
*> -группа;
.
доказано.
2.4.
Пусть даны <G1;
*>; <G2;
>.
Опр.5
Отображение
называется гомоморфизмом, если
,
сохраняет бинарную операцию
.
Опр.6 Отображение называется изоморфизмом, если удовлетворяет условиям: 1) -биекция; 2) .
Изоморфизм –частный случай гомоморфизма.
Опр.7
Группа G1
и группа G2
изоморфны, если
хотя бы один изоморфизм, т.е.
или
.
Примеры:
1.
<Z,
+> =G1;
G2
=<{1; -1},
>;
.
-функция.
.
-гомоморфизм
G1
в G2.
2.
<Z,+>
=G1;
G2
=<2Z,+>.
-биекция.
.
.
-изоморфизм группы G1
на G2.
Свойства
изоморфизма групп: 1.
Изоморфизм
нейтральный элемент группы G1
переводит в нейтральный элемент группы
G2,
т.е.
.
Док –во:
,
тогда
Получаем,
тогда
.
доказано. 2.
Изоморфизм
взаимно симметричные элементы группы
переводит во взаимно симметричные
элементы другой группы, т.е.
.
Док –во:
.
.
,
получаем
3.
Отн-е изоморфизма, заданное на к-ниб.мн-ве групп,явл-ся отн-ем эквив-ти на этом мн-ве
Отношение изоморфизма, заданное на каком –нибудь множестве групп является отношением эквивалентности на этом множестве. Вывод: Изоморфные объекты с точки зрения алгебры не различаются, они могут отличаться только природой элементов.