1.Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
1.1.
Опр 1: Пусть A
и B
не пустые множества. тогда всякое
соответствие
наз. бинарным отношением заданным на
множестве A,
если A=B.
Опр 2: Пусть A
не пустое множество, всякое
наз.бинарным отношением заданным на
множестве A
Примеры: 1)
2)
3)
,
где C-множество
прямых на плоскости
4)
5)
x
и y
Виды бинарных
отношений: 1)Опр: Бинарное отношение
,
заданное на множестве A
наз.рефлексивным на множестве A,
если
из A
пара <x,x>
или (
)(<x,x>
)
или(
)(
)
2)
Опр: Бинарное отношение
,
заданное на множестве A
наз.антирефлексивным на множестве A,
если
из A
пара <x,x>
или (
)(<x,x>
)
или(
)(
)
3)
Опр: Бинарное отношение
,
заданное на множестве A
наз. симметричным на множестве A,
если
из A
пара <x,y>
или (
)(<x,y>
)
или(
)
4)
Опр: Бинарное отношение
,
заданное на множестве A
наз. антисимметричным на множестве A,
если
из A
пара <x,y>
и
5)
Опр: Бинарное отношение
,
заданное на множестве A
наз. транзитивным на множестве A,
если
из A
пара <x,y>
и
<x,z>
1.2 Опр. Бинарное отношение заданное на множестве A называется отношением эквивалентности на A, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно (на A).
Примеры.
1.
Пусть А
—
непустое множество и
-отношение
тождества на множестве A.
Отношение iA
есть
отношение эквивалентности на A.
2.Пусть A — множество прямых на плоскости и
и
х
параллельно
у}—
отношение параллельности. Отношение
параллельности на А
есть
отношение эквивалентности.
О3: пусть на А
зад.отн-е.эквив-ти
а-эл
А. классом эквив-ти, порожденненной эл.а
наз-ся мн-во всех элементов из А,
эквивалентных а.
ОБр: 
или 
любой
элемент из класса эквив-ти-представителем.
Предл-е 1: пусть на
А зад отн-е эквив-ти
,
тогда если 
и обратно.
Д-во:
x
?
при а
x
a
x
вывод: каждый класс эквив-ции однозначно определяется любым своим представителем.
Зам: каждый класс эквив-ции явл-ся подмн-ом А(А-мн-во, кот. зад.мн-во эквив-ции)
О4: На мн-ве А зад
эквив.
,
мн-во всех классов эквив-ии наз.
Фактор-мн-ом мн-ва А по отношению
эквив-ти
Отношение эквив-ти и разбиение мн-ва
О6: Разбиением А
не пуст. Наз-ся совокупность всех всех
его подмн-в, удовлетворяющих след.условиям:1)
каждое подмн-во
-не
пустое;2) любые два подмн-ва 
А-не пуст., i
j,i,j
не пересекаются; 3) А не пуст.
Теорема 1: о задании разбиения с помощью отношения эквивалентности
Всякое отношение эквив-ти зад.на мн-ве А не пуст порождает на нем разбиение на классы эквивалентности.
Д-во:
A
, ~
-
разбиение A
Доказательство будем вести согласно определению разбиения.
1.(
) ([a]
)
?
A
, ~
2.Покажем,
что любые два класса A
и B
является не пересекающимися, т.е. их
пересечение
(
)(
)?
Предположим, что эти два класса пересекающиеся
Получили противоречие. Значит эти классы не пересекающиеся.
1.Объединение
всех классов эквивалентности =множеству
А.
?
(1)
?
(2)
Т2: о задании отношения эквив-ти с помощью разбиения мн-в
Всякое разбиение не пустого мн-ва порождает некоторое от-е эквив-ти
1.3. Отношение порядка
Пусть А-не пустое
О1: бин. отношение ρ:А наз.порядка(не строгого порядка), если оно явл-ся Р,АС,Тр
О2:Бин.отн-е со
знаком
наз. Отн-ем порядка(не стр.), если оно:
О3:Бин.отн-е ρ:А, наз.отношением строгого порядка на А, если оно АР, Тр
Зам: на одном и том же мн-ве могут быть заданы разные отн-я порядка
О6:А:
наз. Сравнимым, если x
О7: Пусть на А: . А-наз. Линейно-упорядоченным, если любые его дваэл-та сравнимы.при этом отн-е порядка наз-ся отн-ем линейного порядка
Зам-е: бин. отн-е порядка, не явл. отн-ем лин.порядка наз.отн-ем частного порядка, а мн-во, на котором задано, частично упорядоченным множеством
Предл-е:1.если в упорядоч.мн-ве А: есть наиб(наим), то он единственный
О8: А: . –упоряд.мн-во отн-я порядка.А-наз.вполне упоряд, если всякое его не пустое подмн-во имеет наим.эл-т
Пр-е2: всякое вполне упорядоченное мн-во является линейно упорядоченным.