7. Основные правила дифференцирования Производная алгебраической суммы функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)' = u'±v'

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)' = u' — v' + w'

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)' = u'v + uv'

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)' = cv' (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Производная обратной функции

Еели у = f(x) и х = ф (у) — взаимно обратные дифференцируемые функции, то

8. Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Пусть функция   дифференцируема в точке  , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно   и нелинейного членов:

где   при  .

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке   равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента  .

Н а графике функции   возьмем произвольную точку   и дадим аргументу   приращение  . При этом функция получит приращение  (на рисунке отрезок  ).

Проведем касательную к кривой   в точке   и обозначим угол ее наклона к оси   через  , тогда  . Из треугольника   находим    , т.е.  .

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции   в данной точке, когда аргумент   получает приращение  .

9. Производные высших порядков примеры

Рассмотрим дифференцируемую функцию  . Найдем её производную  . Рассматривая   как новую функцию, продифференцируем её:

Полученную новую производную называют второй производной от функции  . Вторую производную обозначают так:

 или  .

Аналогично находится производная третьего, четвертого, и т.д. n-го порядка. Третья производная обозначается так:

Четвертая:

.

Производной n – го порядка от функции   называется производная от производной  -го порядка:

.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример

1. Найти производную второго порядка:

.

Сначала найдем производную первого порядка:

.

Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это и будет производная второго порядка:

.

10. Дифференциал высших порядков. Пример.

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке  дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Пример. Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции 

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ. 

11. Производные высших порядков от неявной функции и функции заданных параметрически

2)Функции заданные неявно:

.

3)Функции, заданные параметрически.

. 

.

12. Теорема ролля и лагранжа

Теорема Ролля (теорема о нуле производной) утверждает, что Если вещественная функция непрерывна на отрезке   и дифференцируема на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если Функция (математика)функция   непрерывна на отрезке   и дифференцируема в интервале  , то найдётся такая точка  , что . Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке   найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

13. Теорема Каши.

Теорема Коши   о среднем значении. Пусть даны две функции   и   такие, что:  и   определены и непрерывны на отрезке  ; производные   и   конечны на интервале  ; производные   и   не обращаются в нуль одновременно на интервале и  ; тогда , где 

14. Предел отношения бесконечно малых величин (Правило Лопираля)

Правило Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1.  либо  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.