Тема 7. Статистические методы измерения взаимосвязи

Цель – закрепление теоретического и практического материала, приобретение навыков построения регрессионных моделей.

Задача – построить регрессионную модель, оценить адекватность построенной модели, проверить статистическую значимость параметров модели, оценить тесноту связи между переменными.

Методические рекомендации

Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).

Целью корреляционного анализа является количественное опре­деление тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Данные коэффициенты дают возможность определить весомость факторных признаков при построении уравнений регрессии. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.

Целью регрессионного анализа являются определение анали­тического выражения связи, установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных зна­чений зависимой переменной (функции регрессии).

Если с изменением фактора х результат у изменяется более или менее равномерно, такая связь описываются линейной функцией , где

, ,

где y – уровень фактического ряда (результативный признак);

n – число членов ряда;

х – факторный признак.

В небольших по объему совокупностях коэффициент регрессии (а₁), склонен к случайным колебаниям. Его существенность можно проверить с помощью t-критерия Стьюдента:

,

где – средняя ошибка параметра а₁:

,

где – остаточная дисперсия, которая рассчитывается по формуле ;

– дисперсия факторного признака, которая рассчитывается по формуле , ( , ).

Интервал, в котором с заданным уровнем значимости находится коэффициент регрессии в генеральной совокупности, определяется по формуле:

.

Для проверки адекватности регрессионной модели необходимо определить тесноту корреляционной связи между сменными х и у. Теснота корреляционной связи может быть измеряна эмпирическим корреляционным отношением :

.

Подкоренное выражение корреляционного отношения является коэффициентом детерминации. Корреляционное отношение может находиться в пределах от 0 до 1, то есть . Чем ближе до 1, тем связь между признаками теснее. Теснота связи оценивается с помощью шкалы Чеддока (табл. 2).

Таблица 2

Шкала Чеддока

	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
сила связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	очень тесная

Коэффициент Фехнера является характеристикой тесноты связи между двумя признаками х и у и рассчитывается по формуле:

,

где С – число совпадений знаков отклонений (например, «плюс» и «плюс», «минус» и «минус», «отсутствие отклонения» и «отсутствие отклонения»);

Н – число несовпадений знаков отклонений.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. При этом значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги, также ранжируют значения показателя Y.

,

где – квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

Типовая задача

Имеем данные о сумме активов и депозитов по 10 коммерческим банкам (табл. 3). Провести корреляционно-регрессионный анализ связи между этими признаками. Для характеристики этой связи определить: форму и математическую модель связи; параметры уравнения регрессии; тесноту связи.

Таблица 3