
- •1. Экономико-математическое моделирование
- •2.Балансовые модели (модели межотраслевого баланса)
- •3. Примеры задач линейного программирования
- •3. Транспортная задача.
- •4. Общая постановка задачи линейного программирования
- •1. Множество решений системы (1) является выпуклым многогранником (напомним, что выпуклое множество вместе с любыми двумя точками содержит все точки соединяющего их отрезка).
- •2. Вершины многогранника называются угловыми точками.
- •5. Симплекс - метод
- •6. Двойственные задачи
- •7. Транспортная задача
- •8. Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •9. Особенности решения открытой транспортной задачи
- •10. Задача о назначениях
- •11. Задачи нелинейного программирования
- •12. Игры двух лиц с нулевой суммой
- •13. Понятие смешанной стратегии. Графический метод решения игры.
- •14. Решение игры с нулевой суммой сведением к задаче линейного программирования
- •15. Итерационный метод (Брауна – Робинсона)
- •16. Биматричные игры.
- •1. Фирма а, скорее всего окажется в проигрыше
- •2. Фирма в, скорее всего, победит
- •3. Фирме а следует уделять внимание рынкам в соотношении 2:7, т.Е. Существенно большее внимание уделять 2-му рынку.
- •17. Игры с природой
- •18. Модели принятия решений с помощью деревьев решений.
- •19. Модели динамического программирования
- •20. Вероятностные модели
- •1. Формирование оптимального портфеля акций
- •3. Страхование от убытков на фондовой бирже.
- •4. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •21. Дисперсионный анализ
- •22. Математическая модель управления запасами
- •23. Имитационное моделирование (model simulation)
- •Библиографический список
7. Транспортная задача
Среди задач линейного программирования особое место занимает транспортная задача. Ее методы широко используются в экономике и бизнесе, особенно в транспортных и дистрибьютерских фирмах.
Традиционная постановка транспортной задачи такова:
Рис. 3
Имеются m поставщиков и n потребителей. У поставщиков сосредоточен однородный груз в количестве a1, a2,…..am.
Спрос потребителей на груз: в1, в2,….вn.
Известны стоимости (тарифы) сij на перевозку единицы груза от i-го поставщика к j- му потребителю.
Требуется составить оптимальный план перевозок грузов такой, чтобы:
1. вывести весь груз поставщиков
2. удовлетворить весь спрос потребителей
3. минимизировать суммарные затраты на перевозку.
Построение математической модели:
Пусть хij – количество груза, перевозимого от i-го исх. пункта к j-му пункту потребления.
х11 + х12+ ….+х1n= а1
х21 + х22+ ….+х2n= а2 →все грузы должны быть вывезены
……………………..
хm1 + хm2+ ….+хmn= аm
х11 + х21+ ….+хm1= b1
х12 + х22+ ….+хm2= b2 → весь спрос удовлетворен
…………………….
х1n + х2n+ ….+хmn= bn
Замечание:
Если
,
то задача называется закрытой, в
противном случае - открытой. Доказано,
что закрытая транспортная задача
всегда имеет оптимальное решение.
8. Метод потенциалов решения транспортной задачи
Разберем этот метод на конкретном примере:
На трех железнодорожных станциях сосредоточено топливо для пяти заводов. Необходимо составить оптимальный план перевозок топлива. Исходные данные заданы в транспортной таблице стандартного вида:
Потр. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
ЗАПАСЫ |
Пост. |
||||||
1 |
7 |
4 |
2 |
3 |
4 |
200 |
2 |
6 |
4 |
5 |
2 |
7 |
250 |
3 |
5 |
8 |
3 |
5 |
9 |
50 |
СПРОС |
100 |
70 |
80 |
150 |
100 |
|
Задача закрытая (почему?).
1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
Используется метод минимальной стоимости. Его суть:
а) находим клетку с минимальной стоимостью и в максимально возможной степени удовлетворяем спрос соответствующего потребителя. Результат записываем в левый нижний угол клетки.
Потр. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
ЗАПАСЫ |
Пост. |
||||||
1 |
7 20 |
4 |
2 80 |
3 |
4 100 |
0 |
2 |
6 30 |
4 70 |
5 |
2 150 |
7 |
0 |
3 |
5 50 |
8 |
3 |
5 |
9 |
0 |
СПРОС |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
б) правило: “там, где 0 вычеркиваем”
в) среди всех невычеркнутых клеток вновь находим клетку с минимальной стоимостью и вновь повторяем алгоритм.
в) контроль: общее число занятых клеток равно m + n- 1
г) F = 20*7 + 80*2+ 100*4 + 30*6 + 70*4 + 150*2 + 50*5= 1710
Начальный опорный план - в левом нижнем углу клеток.
2. Проверка опорного плана на оптимальность.
Проверка на оптимальность осуществляется с помощью потенциалов во вновь составленной таблице.
Постр. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
U |
Пост. |
||||||
1 |
20 |
4 + |
2 80 |
3 |
4 100 |
0 |
2 |
6 30 |
4 70 |
5 |
2 150 |
7 |
-1 |
3 |
5 50 |
8 |
3 |
5 |
9 |
-2 |
V |
7 |
5 |
2 |
3 |
4 |
|
ПРАВИЛО 1: для всех занятых клеток должно быть:
u i + v j = c i j (1)
(сумма потенциалов равна стоимости)
ПРАВИЛО 2: для всех свободных клеток должно быть:
u i + v j ≤ c i j (2)
Условие оптимальности нарушено в клетке (1, 2)!
Итак, полученный опорный план не оптимален!
Экономический смысл потенциалов:
Потенциалы u и v можно рассматривать как платежи поставщиков и потребителей некоторому третьему лицу- назовем его ‘ перевозчиком”.
Формула (2) означает, что при оптимальном плане перевозок стороны не хотят переплачивать сверх установленного тарифа.
С другой стороны, перевозчик, установив оптимальный план, хочет получить максимум, т.е. весь тариф полностью (формула (1)).
3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
Находим клетку, в которой условие оптимальности нарушено в наибольшей степени. В нашем случае это клетка (1,2). Далее
а) помечаем эту клетку знаком + и строим цикл, начинающийся и заканчивающийся в этой же клетке.
Цикл- это замкнутая ломаная линия, состоящая из горизонтальных и вертикальных отрезков, соединяющих некоторые занятые клетки.
Такой цикл всегда существует и только один!
б) размечаем вершины цикла знаками - + - … считая от исходной клетки.
в) находим, по всем клеткам, помеченным знаком - наименьшую перевозку. Обозначим ее α. У нас α = 20.
г) двигаясь по циклу, прибавляем α к клеткам со знаком + и вычитаем ее из клеток со знаком - .
Получающийся “лишний нуль” стираем.
Результаты записываем в новую таблицу.
Потр. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
U |
Пост. |
||||||
1 |
7
|
4 20 |
2 80 |
3 |
4 100 |
0 |
2 |
6 50 |
4 50 |
5 |
2 150 |
7 |
0 |
3 |
5 50 |
8 |
3 |
5 |
9 |
-1 |
V |
6 |
4 |
2 |
2 |
4 |
|
Не забываем проверять условие: число занятых клеток = m+n -1.
4. Проверка опорного плана на оптимальность.
Вновь находим потенциалы и проверяем условие (2).
Условие оптимальности выполнено.
Получен оптимальный план перевозок!
Fmin = 20*4 + 80*2 + 100*4 + 50*6 + 50*4 + 150*2 + 50*5 = 1690
х12 = 20
х13 = 80
х15 = 100
х21 = 50
х22 = 50
х24 = 150
х31= 50