Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие - ИЗ.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.34 Mб
Скачать

7. Транспортная задача

Среди задач линейного программирования особое место занимает транспортная задача. Ее методы широко используются в экономике и бизнесе, особенно в транспортных и дистрибьютерских фирмах.

Традиционная постановка транспортной задачи такова:

Рис. 3

Имеются m поставщиков и n потребителей. У поставщиков сосредоточен однородный груз в количестве a1, a2,…..am.

Спрос потребителей на груз: в1, в2,….вn.

Известны стоимости (тарифы) сij на перевозку единицы груза от i-го поставщика к j- му потребителю.

Требуется составить оптимальный план перевозок грузов такой, чтобы:

1. вывести весь груз поставщиков

2. удовлетворить весь спрос потребителей

3. минимизировать суммарные затраты на перевозку.

Построение математической модели:

Пусть хijколичество груза, перевозимого от i-го исх. пункта к j-му пункту потребления.

х11 + х12+ ….+х1n= а1

х21 + х22+ ….+х2n= а2 →все грузы должны быть вывезены

……………………..

хm1 + хm2+ ….+хmn= аm

х11 + х21+ ….+хm1= b1

х12 + х22+ ….+хm2= b2 → весь спрос удовлетворен

…………………….

х1n + х2n+ ….+хmn= bn

Замечание:

Если , то задача называется закрытой, в противном случае - открытой. Доказано, что закрытая транспортная задача всегда имеет оптимальное решение.

8. Метод потенциалов решения транспортной задачи

Разберем этот метод на конкретном примере:

На трех железнодорожных станциях сосредоточено топливо для пяти заводов. Необходимо составить оптимальный план перевозок топлива. Исходные данные заданы в транспортной таблице стандартного вида:

Потр.

1

2

3

4

5

ЗАПАСЫ

Пост.

1

7

4

2

3

4

200

2

6

4

5

2

7

250

3

5

8

3

5

9

50

СПРОС

100

70

80

150

100

Задача закрытая (почему?).

1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).

Используется метод минимальной стоимости. Его суть:

а) находим клетку с минимальной стоимостью и в максимально возможной степени удовлетворяем спрос соответствующего потребителя. Результат записываем в левый нижний угол клетки.

Потр.

1

2

3

4

5

ЗАПАСЫ

Пост.

1

7

20

4

2

80

3

4

100

0

2

6

30

4

70

5

2

150

7

0

3

5

50

8

3

5

9

0

СПРОС

0

0

0

0

0

б) правило: “там, где 0 вычеркиваем”

в) среди всех невычеркнутых клеток вновь находим клетку с минимальной стоимостью и вновь повторяем алгоритм.

в) контроль: общее число занятых клеток равно m + n- 1

г) F = 20*7 + 80*2+ 100*4 + 30*6 + 70*4 + 150*2 + 50*5= 1710

Начальный опорный план - в левом нижнем углу клеток.

2. Проверка опорного плана на оптимальность.

Проверка на оптимальность осуществляется с помощью потенциалов во вновь составленной таблице.

Постр.

1

2

3

4

5

U

Пост.

1

7

20

4

+

2

80

3

4

100

0

2

6

30

4

70

5

2

150

7

-1

3

5

50

8

3

5

9

-2

V

7

5

2

3

4

ПРАВИЛО 1: для всех занятых клеток должно быть:

u i + v j = c i j (1)

(сумма потенциалов равна стоимости)

ПРАВИЛО 2: для всех свободных клеток должно быть:

u i + v jc i j (2)

Условие оптимальности нарушено в клетке (1, 2)!

Итак, полученный опорный план не оптимален!

Экономический смысл потенциалов:

Потенциалы u и v можно рассматривать как платежи поставщиков и потребителей некоторому третьему лицу- назовем его ‘ перевозчиком”.

Формула (2) означает, что при оптимальном плане перевозок стороны не хотят переплачивать сверх установленного тарифа.

С другой стороны, перевозчик, установив оптимальный план, хочет получить максимум, т.е. весь тариф полностью (формула (1)).

3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.

Находим клетку, в которой условие оптимальности нарушено в наибольшей степени. В нашем случае это клетка (1,2). Далее

а) помечаем эту клетку знаком + и строим цикл, начинающийся и заканчивающийся в этой же клетке.

Цикл- это замкнутая ломаная линия, состоящая из горизонтальных и вертикальных отрезков, соединяющих некоторые занятые клетки.

Такой цикл всегда существует и только один!

б) размечаем вершины цикла знаками - + - … считая от исходной клетки.

в) находим, по всем клеткам, помеченным знаком - наименьшую перевозку. Обозначим ее α. У нас α = 20.

г) двигаясь по циклу, прибавляем α к клеткам со знаком + и вычитаем ее из клеток со знаком - .

Получающийся “лишний нуль” стираем.

Результаты записываем в новую таблицу.

Потр.

1

2

3

4

5

U

Пост.

1

7

4

20

2

80

3

4

100

0

2

6

50

4

50

5

2

150

7

0

3

5

50

8

3

5

9

-1

V

6

4

2

2

4

Не забываем проверять условие: число занятых клеток = m+n -1.

4. Проверка опорного плана на оптимальность.

Вновь находим потенциалы и проверяем условие (2).

Условие оптимальности выполнено.

Получен оптимальный план перевозок!

Fmin = 20*4 + 80*2 + 100*4 + 50*6 + 50*4 + 150*2 + 50*5 = 1690

х12 = 20

х13 = 80

х15 = 100

х21 = 50

х22 = 50

х24 = 150

х31= 50