5. Симплекс - метод
Практическое осуществление поиска оптимального решения методом перебора угловых точек сопряжено с большими вычислительными трудностями: в реальных задачах экономики и бизнеса число угловых точек, хотя и конечно, но слишком велико. Графический метод, также обладает существенным недостатком - его можно применять в том случае, когда число переменных в cстандартной форме равно двум. Кроме того, этот метод весьма неточен и трудоемок.
Поэтому, необходимо научиться отбрасывать заведомо “плохие” угловые точки и работать только с перспективными, не прибегая к грaфикам.
Именно это и реализовал Данциг в разработанном им симплекс-методе. Его суть - выбирать угловые точки (опорные решения) направленно, добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было “лучше” предыдущего. Такой направленный перебор позволит резко сократить число шагов (итераций).
Ясно, что для реализации симплекс - метода необходимо математически:
выбрать начальное опорное решение
проверить его на оптимальность
при необходимости перейти к лучшему
уметь распознавать ситуации отсутствия оптимального решения.
Ограничимся пока этапами “ручного” cимплекс - метода, когда необходимые преобразования осуществляются в таблицах стандартного вида.
Пример:
Фирма намеревается приступить к изготовлению трех видов изделий, используя три вида ресурсов. Исходные данные приведены в таблице стандартного вида.
Ресурсы |
Запасы |
Расх. коэфф. |
1 2 3 |
||
труд |
120 |
6 5 4 |
сырье |
96 |
3 2 4 |
оборудование |
180 |
5 3 3 |
Прибыль, у.е. |
|
9 10 16 |
Менеджеру фирмы требуется составить оптимальный план выпуска изделий из условия максимальной прибыли.
Построение математической модели:
х1, х2, х3 – количество изделий каждого вида.
6х1 + 5х2 + 4х3 ≤ 120
3х1 + 2х2 + 4х3 ≤ 96
5х1 + 3х2 + 3х3 ≤ 180
х1, х2, х3 ≥ 0
F= 9х1 + 10х2 + 16х3 → max
1. Приводим задачу к каноническому виду:
6х1 + 5х2 + 4х3 + х4 = 120
3х1 + 2х2 + 4х3 + х5 = 96
5х1 + 3х2 + 3х3 + х6 = 180
х1,.. х6 ≥ 0
F= 9х1 + 10х2 + 16х3 → max
2. Составляем исходную симплекс-таблицу (заметим, что в разных учебных пособиях форма симплекс- таблицы различна!):
Базисн. перем. |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
вi |
Оцен. отн. |
х4 |
6 |
5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
120 |
30 |
х5 |
3 |
2 |
4 |
0 |
1 |
0 |
96 |
24 |
х6 |
5 |
3 |
3 |
0 |
0 |
1 |
180 |
60 |
Оцен. строка |
-9 |
-10 |
-16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
В первом столбце указаны базисные переменные. Напомним, что им в матрице системы соответствует определитель не равный нулю (набор единичных столбцов в таблице). В столбце вi указаны правые части уравнений, а в последнем столбце – оценочное отношение (смысл поясним позже).
В последней, оценочной строке, указаны коэффициенты целевой функции с противоположными знаками.
По составленной таблице прочитаем исходное опорное решение (исходную угловую точку): х1 = (0,0,0,120,96,180).
Понятно, что в самой таблице указана матрица системы ограничений.
3. Проверяем опорное решение на оптимальность: если все элементы оценочной строки неотрицательны, то опорное решение оптимально. В нашем случае это не так.
4. В оценочной строке находим наименьший отрицательный элемент. Соответствующий столбец назовем разрешающим.
5. Заполняем оценочное отношение, деля элементы столбца вi на элементы разрешающего столбца (учитываются только положительные элементы, в противном случае, ставится прочерк).
6. Находим минимальное оценочное отношение. Соответствующий элемент разрешающего столбца выделяем и называем разрешающим. ( строку, в которой находится разрешающий элемент, называем разрешающей).
7. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) обнуляем. Результаты записываем в новую симплекс-таблицу.
Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника и также записываем в новую таблицу.
Правило прямоугольника
поясним схемой
Базисн. перем. |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
вi |
Оцен. отн. |
х4 |
3 |
3 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
24 |
8 |
х3 |
3/4 |
1/2 |
1 |
0 |
1/4 |
0 |
24 |
48 |
х6 |
11/4 |
3/2 |
0 |
0 |
-3/4 |
1 |
108 |
72 |
Оцен. строка |
3 |
-2 |
0 |
0 |
4 |
0 |
384 |
|
8) Новое опорное решение х2 = (0, 0, 24, 24, 0, 108).
Оно вновь не оптимально.
Перейдя к п.4) получим уже последнюю таблицу:
Базисн. перем. |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
вi |
Оцен. отн. |
х2 |
1 |
1 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
0 |
8 |
|
х3 |
1/4 |
0 |
1 |
-1/6 |
5/12 |
0 |
20 |
|
х6 |
5/4 |
0 |
0 |
-1/2 |
-1/4 |
1 |
96 |
|
Оцен. строка |
5 |
0 |
0 |
2/3 |
10/3 |
0 |
400 |
|
Новое опорное решение х3 = (0, 8, 20, 0, 0, 96). Fmax = 400
Итак, х3 оптимальное решение (все элементы оценочной строки неотрицательны!). Следуя ему, следует выпускать 8 единиц 2-го изделия и 20- третьего. Выпуск 1-го изделия экономически не выгоден. Ожидаемая максимальная прибыль 400 у.е.
Заметим, также, что т.к. х4 = х5 = 0, а х6 = 96, то следуя оптимальному решению, первый и второй ресурсы будут израсходованы полностью (т.е. они дефицитны), а третий ресурс будет недоиспользован в количестве 96. (не дефицитен).
Отметим также, что в оценочной строке последней таблицы
х1 = 5. Экономический смысл: если, все - таки, включить в оптимальный план первое изделие, то прибыль уменьшится на 5 у.е.
Замечания
1. Если в оценочной строке последней симплекс таблицы все коэффициенты при свободных переменных больше 0, то оптимальное решение единственно.
2. Если в оценочной строке последней симплекс таблицы хотя бы один из коэффициентов при свободных переменных равен 0, то задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (альтернативный оптимум).