3. Примеры задач линейного программирования

В разделе 1 мы упоминали об оптимизационных моделях. К одним из наиболее изученных классов таких моделей относятся математические модели линейного программирования. Становление этого класса задач относится к 50-м годам прошлого века и связано с решением практических задач в экономике.

1. Задача оптимального использования ресурсов.

Фирма планирует начать выпуск шкафов и столов для компьютеров. Исходные данные приведены в следующей таблице стандартного вида.

Ресурсы	Запасы	Расх. коэфф.
		шкафы столы
Дсп, м2	350	3,5 1
Стекло, м2	240	1 2
Труд, чел-часы	150	1 1
Прибыль, у.е.		200 100

Менеджеру фирмы требуется составить оптимальный план выпуска изделий из условия максимальной прибыли.

Построение математической модели (следуем п. 1.1):

Пусть х₁ – количество шкафов, х₂- количество столов

По условию,

3,5 х₁ + х₂ ≤ 350

х₁ + 2х₂ ≤ 240

х₁ + х₂ ≤ 150 → ограничения модели

х₁, х₂ ≥ 0

F = 200x₁ + 100x₂ → max (целевая функция)

Смысл модели: найти такой набор переменных х₁, х₂, который удовлетворяет ограничениям и при этом обращает целевую функцию в максимум.

2. Задача о раскрое

Имеются прутки длиной 100 см. Требуется нарезать из них заготовки длиной 25 см. (200 штук), 30 см. (250), 35 см. (150). Возможные варианты раскроя приведены в таблице:

Вар. раскроя	1	2	3	4	5	6	7	8	9	План
Вид заготовки
25	4	0	0	1	1	2	2	0	1	200
30	0	3	1	0	1	1	0	2	2	250
35	0	0	2	2	1	0	1	1	0	150
Обрезь	0	10	0	5	10	20	15	5	15

Требуется определить, сколько прутков нужно разрезать по каждому варианту (х₁,х₂,…х₉), чтобы выполнить план по заготовкам и при этом минимизировать суммарную обрезь.

Построение математической модели:

4х₁ + х₄ + х₅+ 2х₆ + 2х₇ + х₉ = 200

3х₂ + х₃ + х₅+ х₆ + 2х₈ + 2х₉ = 250

2х₃ + 2х₄ + х₅+ х₆ + х₇ + х₈ = 150

х_i ≥ 0

F= 10х₂ + 5х₄ +10 х₅+ 20х₆ + 15х₇ +5 х₈+15x₉ →min

3. Транспортная задача.

На двух железнодорожных станциях сосредоточено топливо для трех электростанций. Исходные данные приведены в таблице:

Потребители	1	2	3	Запасы, тонн
Поставщики
1	7	9	8	300
2	3	4	6	500
Спрос, тонн	500	200	100

В клетках указаны затраты на перевозку одной тонны от поставщиков к потребителям.

Требуется составить оптимальный план перевозок топлива от поставщиков к потребителям, чтобы

а) вывезти все топливо

б) удовлетворить спрос

в) минимизировать суммарные затраты

Построение математической модели:

Положим х_{i j} – количество груза, перевозимого от i-го исходного пункта к j-му пункту назначения.

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ =300

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ =500

х₁₁ + х₂₁ =500

х₁₂ + х₂₂ =200

х₁₃ + х₂₃ =100

х_ij ≥ 0

F = 7х₁₁ + 9х₁₂ + 8х₁₃ + 3х₂₁ + 4х₂₂ + 6х₂₃ → min