2.2 Нестаціонарна молекулярна дифузія неконсервативних речовин

Розглянемо нестаціонарний процес молекулярної дифузії неконсервативних речовин, коли кінетика перетворення (розклад) речовини описується лінійною функцією. У цьому випадку математична модель розповсюдження речовини (або мікроорганізмів) являє собою таку крайову задачу:

(2.20)

C(0,t)= , c(l,t)= ; (2.21)

C(x,0)= , (2.22)

Де - концентрація забруднень, що розповсюджується у водному або повітряному середовищі, - концентрація забруднень на віддалі l від джерела забруднень, - концентрація забруднень у початковий момент часу t=0.

Вважатимемо, що граничні умови (2.11) й початкові умови (2.12) є постійними величинами. У випадку, коли ці величини є функціями, задачу потрібно розглядати окремо, хоча методи розв’язування принципово нічим не відрізняються.

Розв’язок крайової задачі (2.20)-(2.22) шукатимемо у вигляді суми:

, (2.23)

Де - розвязок відповідної стаціонарної крайової задачі (2.1),(2.2) або (2.1),(2.12) , а функція - розвязок крайової задачі з однорідними граничними умовами, а саме:

; (2.24)

=0, =0, (2.25)

. (2.26)

Розв’язок крайової задачі (2.14)-(2.16), як і раніше, будемо знаходити у такому вигляді:

(2.27)

Підставляючи шукану функцію (2.27) у рівняння (2.24) та граничні умови (2.25) , одержимо:

, (2.28)

, . (2.29)

Після ділення (2.18) на добуток ХТ одержимо:

, (2.30)

Із співвідношень (2.20) та (2.19) одержимо задачу Штурма-Ліувіля:

, , (2.31)

Розв’язки якої мають вигляд :

. (2.32)

Використовуючи однорідні (нульові) граничні умови,маємо:

A=0, . (2.33)

З останнього рівняння знаходимо:

, n=1,2,3,… (2.34)

Отже, знайдемо всі власні значення:

. (2.35)

Враховуючи (2.23) і (2.24), розв’язки крайової задачі (2.21) запишуться в такому вигляді:

(2.36)

Із співвідношень (2.20) маємо також рівняння

(2.37)

Розв’язок якого запишеться у вигляді:

(2.38)

Тепер частинні розв’язки рівняння (2.4) можна записати у вигляді:

(2.39)

А загальний розв’язок цього рівняння має такий вигляд:

, (2.40)

де поки невідомі коефіцієнти.

Знайдемо ці коефіцієнти, скориставшись початковою умовою (2.6):

(2.41)

Розв’язок стаціонарної задачі запишемо у вигляді (2.19):

(2.42)

Або

(2.43)

З рівності (2.41) видно, що коефіцієнти є коефіцієнти Фурє функції

(2.44)

при розкладанні її в ряд по синусах на проміжку (0,l). Ці коефіцієнти, як було показано ,визначаються такою рівністю:

(2.45)

Враховуючи співвідношення

(2.46)

Рівність (2.45) перепишеться у такому вигляді:

, p= .

Отже, шуканий розв’язок має такий остаточний вигляд:

, (2.47)

де коефіцієнти визначаються рівністю:

. (2.48)

Як правило, в кінці ділянки, на яку поширюється забруднення, значення концентрації забруднюючої речовини невідомо. Тому краще в цій точці задавати значення градієнта концентрації k. У цьому випадку приходимо до розв’язування такої крайової задачі:

D , (2.49)

(2.50)

. (2.51)

Розв’язок як і раніше, шукаємо у вигляді:

, (2.52)

Де ,(2.12) і записується у вигляді (2.15), а функція є розвязок крайової задачі з однорідними граничними умовами, а саме:

D , (2.53)

(2.54)

. (2.55)

Розв’язок крайової задачі (2.53)-(2.55) шукаємо методом Фур’є, тобто у вигляді добутку:

(2.56)

Підставивши (2.56) в рівняння (2.53) та в граничні умови (2.54), одержимо:

, (2.57)

X(0)T(t)=0, (2.58)

Після ділення (2.57) на добуток ХТ одержимо:

. (2.59)

Із співвідношень (2.59) та (2.58) одержуємо задачу Штурма-Ліувіля:

D (2.60)

Загальний розв’язок записується у вигляді:

(2.61)

Використовуючи нульові граничні умови, одержимо:

A=0, . (2.62)

з останнього рівняння знаходимо:

(2.63)

Отже, власні значення визначаються такою рівністю:

. (2.64)

Враховуючи (2.62) і (2.63), розв’язки крайової задачі (2.60) запишуться у вигляді:

. (2.65)

Із співвідношень (2.59) одержуємо також рівняння

, (2.66)

розв’язок якого запишеться так:

. (2.67)

Тепер частинні розв’язки рівняння (2.53), що задовольняють однорідним граничним умовам (2.55), мають вигляд:

, (2.68)

де , a визначається рівністю (2.64).

Загальний розв’язок запишеться у вигляді:

, (2.69)

де поки що невідомі коефіцієнти.

Знайдемо коефіцієнти , скориставшись початковою умовою (2.55), а саме:

, (2.70)

де визначається формулою (2.15).

з рівності (2.70) видно, що коефіцієнти є коефіцієнтами розкладу функції

(2.71)

в ряд Фур’є, причому сталі А і В визначаються рівностями (2.14), а . Як відомо, коефіцієнти Фур’є при розкладі функції (2.71) по синусах на проміжку (0, ) визначаються такою рівністю:

. (2.72)

Враховуючи співвідношення

, (2.73)

рівність (2.72) перепишеться таким чином: (2.74)

враховуючи рівність (2.15), шуканий розв’язок запишеться у такому вигляді:

,

де визначаються рівністю:

, . (2.75)

Сталі А і В визначаються рівностями (2.14).

Враховуючи, що , рівність (2.75) перепишеться у такому вигляді:

, (2.76)

або в такому остаточному вигляді:

. (2.77)