Зміст
1. Вступ 1
2.Одновимірні моделі розповсюдження речовини 2
в нерухомому середовищі 2
2.1 Стаціонарна модель молекулярної дифузії з процесами перетворення речовини 3
2.2 Нестаціонарна молекулярна дифузія неконсервативних речовин 8
3.Приклади 16
Висновок 18
Література 19
1. Вступ
Еволюція сучасної науки характеризується глибоким проникненням математичних методів дослідження у різні сфери наукової думки – від суто гуманітарних дисциплін до таких, як соціологія, прикладна лінгвістика, екологія, що розвиваються на зламі кількох наукових напрямів. Це певною мірою стосується різних галузей природознавства, де роль математики істотно зростає.
Обробка експериментальних даних з використанням математичної статистики – це лише найпоширеніше, але не найважливіше застосування математики. Справа в тому, що результати навіть досить тонких експериментів далеко не завжди дозволяють відповісти на запитання, які основні рушійні сили і механізми впливають на стан і розвиток тієї чи іншої природної системи. Такі механізми можуть бути визначені при розгляді функціонування біологічної чи екологічної системи як результату взаємодії її складових елементів і зовнішніх факторів, що позначаються на стані середовища, в якому розглядаються ці системи. Дослідити згадану взаємодію різноманітних чинників можна тільки за допомогою математичних методів і методів математичного та імітаційного моделювання
Найважливішим етапом застосування математики в екології слід вважати процес побудови адекватної математичної моделі об’єкта або системи, що вивчається.
Зокрема нижче розглянемо просторову модель, яка будується на основі диференціальних рівнянь у частинних похідних, що описує процес переносу забруднень у нерухомому повітряному або водному середовищі. І реалізуємо розв’язування рівняння, що відповідає цій моделі за допомогою чисельного методу сіток.
2.Одновимірні моделі розповсюдження речовини в нерухомому середовищі
У випадку одномірного процесу переносу (розповсюдження) забруднень у нерухомому повітряному або водному середовищі математичну модель одержуємо у такому вигляді:
,
де
D
– коефіцієнт молекулярної дифузії
(м
/сек);
- концентрація речовини, що забруднює
повітряне (водне) середовище, або густина
організмів, що розповсюджуються в
навколишньому середовищі (кг/м
,
г/дм
і т. ін.);
- функція, що описує інтенсивність
(швидкість) джерела забруднень, витікання
речовини з даної екосистеми або швидкість
фізичного, хімічного і біологічного
перетворення речовини (наприклад,
процеси седиментації, хімічного і
біологічного самоочищення водойм);
- просторова і часова координати.
2.1 Стаціонарна модель молекулярної дифузії з процесами перетворення речовини
Усталений процес розповсюдження неконсервативних речовин,або консервативних речовин при наявності джерел їх поповнення, в екосистемі з нерухомим середовищем описується стаціонарним рівнянням молекулярної дифузії, яке у разі лінійної кінетики перетворення речовини записується в такому вигляді:
(2.1)
Як і раніше, спочатку знайдемо розв’язок за умови, що відомі значення концентрації забруднень на краях середовища , тобто виконуються крайові умови:
C(0)=
; c(
=
(2.2)
Розв’язавши характеристичне рівняння у цьому випадку
D
(2.3)
Маємо:
,
(2.4)
Отже загальний розв’язок рівняння (2.1) має вигляд:
C(x)=A
+ B
(2.5)
Використовуючи граничні умови (2.2), маємо :
(2.6)
Розв’язавши систему рівнянь (2.6), знайдемо невідомі сталі А і В, а саме:
,
(2.7)
Підставивши сталі (2.7) в праву частину рівності (2.5), шукану математичну модель запишемо в такому функціональному вигляді:
(2.8)
Або у вигляді:
(2.9)
якщо
знайти границю виразу (2.9) при
,
то, використовуючи правило Лопіталя
,
Одержимо:
+
=
=
Або
остання рівність збігається з одержданим раніше розв’язком (), що моделює процес молекулярної дифузії без джерел і перетворень (самоочищення). Таке одержання частинного розв’язку із більш загального випадку є підтвердженням правильності і побудованих моделей.
Використовуючи означення гіперболічного синуса, а саме:
(2.10)
Розв’язок (2.2) можна записати у досить компактному вигляді:
(2.11)
Тепер знайдемо розв’язком за умови, що відома концентрація на початку ділянки розповсюдження забруднень, а в кінці ділянки градієнт концентрації дорівнює величині –к, тобто за таких граничних умов:
(2.12)
Загальний розв’язок рівняння (2.1) має вигляд (2.5). Використовуючи крайові умови (2.12), знайдемо сталі А і В у цьому випадку:
(2.13)
,
(2.14)
Отже, шуканий розв’язок запишеться в такому вигляді:
(2.15)
Побудовану функціональну модель (2.15) можна записати і в такому вигляді:
(2.16)
Використовуючи означення означення гіперболічного синуса (2.10) і гіперболічного косинуса,
(2.17)
Рівність (2.16) можна записати у вигляді:
(2.18)
У кінці ділянки шлях розповсюдження речовини закінчується, у цій точці градієнт концентрації забруднень дорівнює нулю (к=0). Отже, у даному випадку процес розповсюдження забруднень описується такою функцією:
(2.19)
Як бачимо , на відміну від розглянутого раніше лінійного закону розповсюдження консервативних речовин, процес розповсюдження неконсервативних речовин відбувається за нелінійним законом.