23. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы.

[e] = (e₁,…,e_n) – базис 1; – базис 2;

Т –матрица перехода от [e] к = (e₁, …, e_n) T; A ϵ L(V_n).

[e]: A ↔ A_e; A(e₁, …, e_n) = (e₁, …, e_n)A_e

; (e₁, …, e_n) ∙ A_e ∙ T = (e₁, …, e_n)T ⇔ A_eT = T ∙ ;

Т.к. det T ≠ 0, то ∃

Определение: Квадратные матрицы B и D порядка n называются подобными, если D = Q^-1BQ, Q – некоторая невырожденная матрица порядка n.

Следствие 1: Подобные матрицы и только они задают один и тот же линейный оператор в различных базисах пространства V_n.

Доказательство:

1. Пусть [e] – базис, A ϵ L(V_n), A_e – матрица А в базисе [e]. Если - другой базис V_n, то – матрица оператора А в .

, где Т – матрица перехода от [e] к . Т.е. A_e и подобны.

2. Пусть подобна A_e, т.е. ∃Q – матрица, det Q ≠ 0, такая, что .

Рассмотрим векторы = (e₁, …, e_n)Q. В этом случае - линейно независимы и образуют базис, причем Q – матрица перехода от [e] к , – матрица оператора А в .

Следствие 2: Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство: [e]: A ↔ A_e; : A ↔ ; ;

.

24. Характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора, его инвариантность.

; λ – произвольная переменная, E = E_n.

Матрица A – λE называется характеристической матрицей матрицы А.

Рассмотрим многочлен:

+

Определение: Многочлен det(A – λE) называется характеристическим многочленом матрицы А степени равной n. Коэффициент при λⁿ равен (-1)ⁿ.

Теорема: Характеристический многочлен у подобных матриц совпадает.

Доказательство: Пусть матрицы B и D подобны, т.е. ∃ T (det T ≠ 0) такая, что D=T^-1BT; det(D-λE) = det(T^-1BT – λT^-1ET) = det(T^-1(B-λE)T) = det T^-1 ∙ det(B-λE) ∙ det T = det(B-λE), ч.т.д.

Определение: Характеристическим многочленом оператора А называется характ. многочлен матрицы этого оператора в некотором базисе V.

Следствие: Характ. многочлен лин. оператора V_n не зависит от выбора базиса.

Доказательство: [e]: A ↔ A_e; ; (det T ≠ 0)

ч.т.д.

25. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Примеры. Теорема о собственных значениях линейного оператора в конечномерном пространстве. Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.

V – линейное пространство (действительное или комплексное);

А – линейный оператор пространства V, A ϵ L(V)

Определение: Число называется собственным значением линейного оператора А, если в пространстве V существует ненулевой вектор x такой, что выполняется Ax = λx,

Любой вектор называется собственным вектором оператора А, соответствующим (отвечающим, принадлежащим) собственному значению λ.

Пример:

1. V₃ – пространство геометрических векторов в пространстве.

А – оператор проектирования на XOY

①

λ = 1 – собственное значение оператора

– собственный вектор, отвечающий данному собственному значению.

②

, λ = 0 – собственное значение

– собственный вектор

2. Тождественный оператор x = x = 1 ∙ x, λ = 1.

3. O – нулевой оператор Ox = Θ = 0*x, λ = 0 - собственный вектор

Теорема В действительном линейном пространстве V_n действительные корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора А.

В комплексном линейном пространстве V_n все корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора А.

V_n – n-мерное линейное пространство (ℝ или ℂ);

A ϵ L(V_n); [e] = (e₁, e₂, …, e_n) – базис;

[e]: A ↔ A_e – матрица оператора А в базисе [e].

Доказательство: det(A-λE) – характеристический многочлен; E = E_n;

λ₀ – собственное значение А, если ∃ x ≠ 0, x ϵ V_n, такой, что Ax = λ₀x;

; ;

; ; ;

является решением однородной СЛАУ.

(2)

Т.к. и матрица А_e – λ₀E – квадратная порядка n, то система (2) имеет ненулевое решение ⇔ det(A_e-λ₀E) = 0, т.е. λ₀ – решение характеристического уравнения (корень характеристического многочлена).

Характеристический многочлен det(A – λE):

1. в действительном случае рассматривает только действительные корни характеристического многочлена

2. в комплексном случае - характеристический многочлен имеет n корней, они являются собственными значениями.

Следствие: В комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет собственное значение и собственный вектор.

В действительном линейном пространстве, если линейная размерность четная, то линейный оператор может не иметь собственных векторов.

Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.

V_n – линейное пространство (ℝ или ℂ); A ϵ L(V_n);

1. Фиксированный базис [e] = (e₁, …, e_n);

[e]: A ↔ A_e – матрица линейного оператора А.

2. A_e – λE – характеристическая матрица матрицы A_e ;

Составленное характеристическое уравнение det(A_e – λE) = 0;

Решаем характеристическое уравнение и находим корни λ₁, …, λ_n.

3. Последовательно берем λ_i(I = 1, …, n), подставляем вместо λ в характеристическую матрицу и составляем однородную СЛАУ:

(2)

Собственные векторы, отвечающие за λ_i – все ненулевые решения полученной системы.

Билет 26. Свойства собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям.

Пусть V-линейное пространство V’  V.

Определение 14. Линейное подпространство V’  V называется инвариантным относительно A, если ∀x  V: Ax  V’.

Теорема 9. Все собственные векторы линейного оператора A, соответствующие собственному значению λ₀ вместе с θ образуют линейное подпространство V’, инвариантное относительно A.

Док-во: V’={x  V: Ax = λ₀x}

1) V’ – линейное подпространство ∀x₁, x₂  V’

A(x₁+ x₂ ) = Ax₁ + Ax₂ = λ₀x₁ + λ₀x₂ = λ₀( x₁ + x₂ ) => x₁ + x₂  V’

A( μx₁ ) = μAx₁ = μλ₀x₁ = λ₀( μx₁ ) => μx₁  V’.

Докажем инвариантность V’ относительно A. ∀x  V’: т.к. V’ – линейное подпространство, следовательно V’ инвариантно относительно A.

Теорема 10. Если λ₁, …, λ_k – различные собственные значения оператора A (т. е. λ_i ≠ λ_j, при i ≠ j ), то собственные вектора f₁…, f_k, отвечающие данным собственным значениям, являются линейно независимыми.

Док-во: По условию: Af_i = λ_if_i i=1, …, k.

λ_i ≠ λ_j при i ≠ j.

Ведём индукцию по k - числу векторов.

1) k = 1 – основание индукции. λ₁ собственный вектор f₁ ≠ θ => f₁ – линейно независим.

2) Предположим, что любые(k -1) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

3) Докажем утверждение для k. λ₁, … ,λ_k-1, λ_k; f₁, …,f_k-1, f_k – линейно независимы.

α₁f₁ + … + α_k-1f_k-1 + α_kf_k = θ; (3)

A(α₁f₁ + … + α_k-1f_k-1 + α_kf_k ) = Aθ = θ;

α₁Af₁ + … + α_k-1Af_k-1 + α_kAf_k = θ;

α₁λ₁f₁ + … + α_k-1λ_k-1f_k-1 + α_kλ_kf_k = θ; (4)

Равенство (3) умножаем на λ_k и вычтем из (4).

α₁( λ₁ - λ_k )f₁ + α₁( λ₂ - λ_k )f₂ + … + α₁( λ_k-1 - λ_k )f_k-1 = θ.

По индуктивному предположению f₁, …, f_k-1 – линейно независимы .

0 = α₁( λ₁ - λ_k ) = α₂( λ₂ - λ_k ) = … = α_k-1( λ_k-1 - λ_k ).

Т. к. λ_k ≠ λ; i = 1, …, k – 1, то α₁ = … = α_k-1 = 0.

α_kf_k = θ, т. к. f_k ≠ θ, то α_k = 0

Итак, α₁ = … = α_k-1 = 0 => f₁, …, f_k-1, f_k – линейно независимы.

Билет 27. Критерий диагональности матрицы линейного оператора. Теорема о приведении к диагональному виду матрицы линейного оператора с простыми собственными значениями.

Опред. 15. Квадратная матрица A_nxn имеет диагональный вид, если ∀i, j = 1, …, n: i ≠ j, aⁱ_j = 0 ( a_ij = 0 ), т.е.

Теорема 11. ( Критерий диагональности матрицы линейного оператора в некотором базисе ).

Пусть V_n – n-мерное линейное пространство, A  L( V_n ), [e] = ( e₁, … , e_n ) – базис V_n, A_e – матрица оператора А в [e]. Матрица A_e линейного оператора в базисе [e] диагональна т. и т. т., когда базис состоит из собственных векторов оператора A, причём в этом случае

Ae_i = λ_ie_i i=1, …, n ( т.е. λ_i собственное значение соответствующее собственному вектору e_i.)

Док-во: Необходимость. Пусть

тогда, по определению матрицы линейного оператора, Ae₁ = λ₁e₁, …, Ae_n = λ_ne_n, т. е. e₁, …, e_n собственные вектора оператора A, отвечающие собственным значениям λ₁, …, λ_n.

Достаточность. Пусть e₁, …, e_n базис из собственных векторов оператора A. Тогда Ae_i = λ_ie_i. i = 1, …, n.

[e]: A→

Опред. Оператор называется диагонализируемым, если в пространстве V_n  базис, в котором матрица оператора диагональна. Оператор диагонализируем в пространстве т. и т. т., когда в V_n  базис из собственных векторов этого пространства.

Теорема 12. Пусть A  L( V_n ). Если у оператора А  λ₁, λ₂, …, λ_n - n различных собственных значений, то A – диагонализируемый оператор ( т. е. в V_n  базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид ).

Док-во: Собственные значения λ₁, …, λ_n соответствуют системе собственных векторов оператора A: e₁, e₂, …, e_n такая, что Ae_i = λ₁e₁, i = 1, …, n. Согласно теореме 10 (Если λ₁, λ₂, …, λ_k – различные собственные значения оператора A (т. е. λ_i ≠ λ_j, при i ≠ j, то собственные вектора f₁, f₂, … , f_k, отвечающие данным собственным значениям являются линейно независимыми)) собственный вектор оператора A, отвечающий различным собственным значениям, линейно независим. Т.к. по условию собственных значений n и λ_i ≠ λ_j при i ≠ j,

то e₁, … , e_n – линейно независим.

Т. к. dim V_n = n, то векторы e₁, …, e_n образуют базис V_n.

Определение 16. Говорят, что квадратная матрица A приводится к диагональному виду, если она подобна диагональной матрице, т. е. если , где – диагональная матрица.

Следствие: Если матрица A имеет n различных корней, характеристического многочлена, то её можно привести к диагональному виду.

Билет 28. Билинейные формы в действительном линейном пространстве. Симметричные и кососимметричные линейные формы, представление билинейной формы через координаты векторов.

V – действительное линейное пространство.

Определение: Билинейной формой на линейном пространстве называется числовая функция F( x, y ) от 2-х элементов x, y  V, линейная по каждому аргументу ( при фиксированном втором ). Т. е. x, y, z  V и 

1) F( x + z, y ) = F( x, y ) + F( z, y );

F( x, y ) = F( x, y );

2) F( x, y + z ) = F( x, y ) + F( x, z );

F( x, y ) = F( x, y ).

Примеры:

1) f и g – линейные формы на V.

F( x, y ) = f( x )g( y ) – билинейная форма.

2) V₃ – линейное геометрическое пространство векторов x, y  V₃. :

F( x, y ) = ( x, y ) = |x|*|y|*cos - билинейная форма.

Определение: Билинейная форма F( x, y ) на V называется:

1) Симметричной, если x, y  V: F( x, y ) = F( y, x )

2) Кососимметричной, если x, y  V: F( x, y ) = -F( y, x ).

F( x, y ) – билинейная форма на n-мерном линейном пространстве V_n

[e] = ( e₁, e₂, …, e_n ) – базис V_n

x, y V_n :

)  = и  = ;

Билет 29. Преобразование матрицы билинейной

формы при изменении базиса.

V_n – n-мерное пространство;

F( x, y ) – билинейная форма на V_n. x, y ϵ V_n.

[e] = ( e₁, … , e_n )

F( x, y )  ;

; ;

[e]: F( x, y ) 

Пусть S – матрица перехода от [e] к [e^{^}]

( ) = S( ); = S ; ;

= ( ) =

= = ;

В силу единственности: =

Билет 30. Квадратичные формы в линейном пространстве, полярная билинейная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа.

Пусть V – действительное линейное пространство.

Определение 7. Пусть F(x, y) – симметричная билинейная форма на линейном пространстве V. Числовая функция q(x), полученная из F(x, y) путём замены y на x ( т. е. q(x) = F(x, x)) называется квадратичной формой на V. Билинейная форма F(x, y) называется полярной к квадратичной форме q(x).

Свойство квадратичной формы

Между квадратичными формами и симметричными билинейными формами на V  взаимнооднозначное соответствие. F(x, y)  q(x).

Определение 8. Матрицей квадратичной формы q(x) в базисе [e] называется матрица полярной ей билинейной формы F(x,y) в базисе [e].

q(x)  = .

[e] = ( e₁, … , e_n ); ; = ;

i, j = 1, …, n. + 2

Определение 9. Говорят, что в базисе _n квадратичная форма имеет канонический вид, если q(x) = λ₁( ¹ )² + … + λ_n( ⁿ )², где . В этом случае базис [ ] называется каноническим.

Теорема 2. ( Метод Лагранжа ). Пусть в некотором базисе квадратичная форма F( x, y ) задаётся в виде: ; ( = , )

Тогда в V_n  базис [ ] = ( ) в котором квадратичная форма имеет канонический вид: q( x ) = λ₁( ¹ )² + λ₂( ² )² + … + λ_n( ⁿ )², где

Док-во:

Билет 31. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичных форм.

Теорема 3. ( Закон инерции ). Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от базиса, в котором квадратичная форма приведена к нормальному виду. Т. е. [e^{^}] = ( e^{^}₁, …, e^{^}_n ).

x = ⁿ_{i = 1}^{^i}e^{^}_i;

q( x ) = ( ^{^1} )² + … + ( ^{^p^} )² – ( ^{^p^+1} )² -…- ( ^{^p^+q^} )²; p^{^} + q^{^}  n.

[e^~] = ( e^~₁, …, e^~_n ); x = ⁿ_{i = 1}^~ie^~_i;

q( x ) = ( ^~1 )² + … + ( ^~p~ )² - ( ^~p~+1 )² - … - ( ^~p~+q~ )²;

p^~ + q^~  n; т. е. p^{^} = p^~; q^{^} = q^~; (Без док-ва).

Определение 11. Пусть в некотором каноническом базисе квадратичная форма q( x ) имеет вид:

q( x ) = ( ¹ )² + … + ( ^p )² - ( ^p+1 )² - … - ( ^p+q )²;

тогда число положительных коэффициентов в нормальном виде ( p ) называется положительным индексом инерции q( x ), а число отрицательных коэффициентов ( q ) – отрицательным индексом инерции.

p + q  n.

Определение 12. Квадратичная форма q( x ), заданная на действительном линейном пространстве, называется:

1) Положительно определённой, если x  V, x  : q( x ) > 0;

2) Отрицательно определённой, если x  V, x  : q( x ) < 0;

3) Знакопеременной, если  x, y  V: q( x ) >0, q( y ) < 0;

4) Положительно полуопределённой, если x  V: q( x )  0 и  y V, y  : q( y ) = 0;

5) Отрицательно определённой, если x  V: q( x )  0 и  y V, y  : q( y ) = 0;

Теорема 4. Пусть квадратичная форма q( x ) задана на действительном конечномерном пространстве V_n, p и q – её положительный и отрицательный индексы инерции, тогда квадратичная форма:

1) положительно определена <=> p = n, q = 0;

2) отрицательно определена <=> p = 0, q = n;

3) знакопеременная <=> p > 0, q > 0;

4) положительно полуопределена <=> 0 < p < n, q = 0;

5) отрицательно полуопределенна <=> p = 0, 0 < q < n.

( Без док-ва ).

V_n; e₁, … , e_n – произвольный базис; x = ⁿ_i=1ⁱe_i;

q( x ) – квадратичная форма.

A_i^q – матрица q( x ) в [e]; q( x ) = ⁿ_{i, j = 1} a_ijⁱ^j.

( a₁₁ a₁₂ … a_1n )

A_i^q = ( a₂₁ a₂₂ … a_2n )

( ……………… )

( a_n1 a_n2 … a_nn )

Определение 13. Величины d₁ = a₁₁;

d₂₂ = M( 1 2 ) = ( a₁₁ a₁₂ )

( 1 2 ) = ( a₂₁ a₂₂ );

d_k = M( 1, …, k ) = | a₁₁ a₁₂ … a_1k |

( 1, …, k ) = | a_k1 a_k2 … a_kk |, …,

d_n = |A_e^q| = | a₁₁ … a_1n |

| a_n1 … a_nn |

называются главными минорами матрицы A_e^q.

Теорема 5 ( Критерий Сильвестра ).

1) Квадратичная форма q( x ) на V_n является положительно определённой т. и т. т., когда все её главные миноры положительны.

( Т. е. k = 1, …, n: d_k > 0 ).

2) Квадратичная форма q( x ) на V_n является отрицательно определённой т. и т. т., когда знаки её главных миноров чередуются, причём d₁ < 0.

( Т. е. k = 1, …, n: ( -1 )^kd_k > 0 ).

Пример: V₂; n = 2; x = x₁e₁ + x₂ e₂;

q( x ) = Ax₁² + 2Bx₁x₂ + Cx₂²;

( A B )

A^q = ( B C )

1) Положительно определена q( x ) > 0 <=> d₁ = A > 0;

| A B |

d₂ = | B C | = AC – B² > 0.

2) Отрицательно определена q( x ) < 0 <=> d₁ = A < 0;

| A B |

d₂ = | B C | = AC * B² > 0.

3) Знакопеременная | A B |

d₂ = | B C | < 0;

4) В остальных случаях q( x ) полуопределена.

( Без док-ва ).