1.2. Центр параллельных сил и определение центров тяжести тел

 

          Одной из наиболее часто встречаемых в природе является система параллельных сил.  К параллельным относят  приложенные к частицам материальных тел силы тяжести,  силы инерции материальных частиц тел при их поступательном движении,  силы давления частиц жидкости на прямолинейные поверхности элементов конструкций, силы реакций плоскостей при действии на них тел и т.д.  В задачах механики упрощать такие системы сил приходится чаще всего.  Посмотрим, как это делается в теории.

         Легко доказать, что система параллельных сил, если её главный вектор не равен нулю, всегда может быть приведена к равнодействующей - .   Для доказательства  выберем систему координатных осей с осью Oz,  параллельной силам и определим проекции главного вектора  и  главного момента системы сил  на эти оси.

 Из проекций  и  видно, что вектор  находится в плоскости, перпендикулярной оси  Oz,  и,

 следовательно,  .     Случай этот уже рассматривался.    Система сил приводится к равнодействующей.

Определим точку приложения р авнодействующей.

Для этого введем понятие о центре параллельных сил и  дадим этой точке следующее определение :

ЦЕНТРОМ  ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ  СИЛ  НАЗЫВАЕТСЯ  ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОЧКА,  ЧЕРЕЗ  КОТОРУЮ  ПРОХОДИТ  ЛИНИЯ  ДЕЙСТВИЯ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ  СИСТЕМЫ  ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ  СИЛ  ПРИ  ЛЮБЫХ  ПОВОРОТАХ  ЛИНИЙ  ДЕЙСТВИЯ   СИЛ  СИСТЕМЫ  ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧЕК  ИХ  ПРИЛОЖЕНИЯ  НА  ОДИНАКОВЫЙ  УГОЛ.

          Кое-что в этом определении придется для себя уточнить. Из формулировки  следует, что:  

    1)  при нахождении центра параллельных сил векторы сил необходимо считать не скользящими, а связанными с точками тела;

2) положение центра не должно зависеть от направления сил.

         Формулу  для определения положения центра параллельных сил наиболее простым способом (в учебниках приводятся и иные возможные выводы) можно получить  с помощью теоремы Вариньона о моменте равнодействующей        

      Для вывода формулы изобразим на  рисунке  несколько параллельных сил ,     приложенных в точках пространства. Положение  каждой из точек в выбранной системе координат Oxyz определим радиус-вектором .    Положение центра параллельных сил (т. С) зададим радиус-вектором ,  который  и  попытаемся  определить.

        Дополнительно введем в рассмотрение единичный вектор , параллельный силам.  С его помощью вектор каждой силы  выразим через произведение единичного вектора  на алгебраическое значение величины силы,  то есть для каждой силы мы запишем, что .                                                 Тогда  .

         Далее запишем теорему Вариньона о моменте равнодействующей для рассматриваемой СС и определим моменты каждой из сил относительно начала координатных осей с  помощью векторных произведений радиус-векторов сил на сами силы.

         Эта векторная формула является основной  для  получения  всех последующих.

  Прежде всего, из нее следуют формулы для определения координат   т. С - центра параллельных сил.

      В этих формулах координаты точек приложения сил могут быть и положительными и отрицательными.   

Также могут быть положительными и отрицательными алгебраические значения проекций сил на направление параллельного силам вектора   .