5. Численное интегрирование с помощью методов прямоугольников.

Пусть некоторый конечный интервал [а, b] на оси Ох разбит на n подинтервалов [х_i, х_i+1]. Положим х₀ = а; х_n= b и х₀ < х₁ < ... <х_n. Обозначим h_i=х_i+1-х_i. Если [а, b] разбит равномерно, то h_i будет постоянна. Пусть теперь на [а, b] определена некоторая функция f(х). Необходимо найти приближение к определенному интегралу . Если f(х) непрерывна , то тогда I можно представить как , где .

Формула, аппроксимирующая интеграл I_i, называется квадратурной. Составная квадратурная формула - это формула, дающая приближение интеграла I в виде суммы приближений интегралами I_i по данной квадратурной формуле.

Простейшей квадратурной формулой является формула прямоугольников. Известны три разновидности формул прямоугольников: это формулы левых, правых и средних прямоугольников. Все они основаны на аппроксимации каждого интеграла I_i площадью прямоугольника, одной из сторон которого является h_i , а второй - либо значение функции на левом конце отрезка (рис. а), либо значение функции на правом конце отрезка (рис. б), либо значение функции в средней точке отрезка (рис. в).

Квадратурные формулы прямоугольников могут быть записаны так:

левых прямоугольников

(1)

правых прямоугольников

(2)

средних прямоугольников

. (3)

Если ф. монотонно возр. на [а, b] , то формула (1) дает меньшее значение, чем (2); если мон-но убыв., то наоборот. Для всех (1-3): . Как быстро они сходятся?

называется погрешностью квадратурной формулы, которую м. оценить с помощью формулы Тейлора:

,где . Тогда

Т.к. , то для (3) представим f(x):

. Тогда

Обозначив – модуль максимума II произв.

6. Численное интегрирование с помощью метода Монте-Карло.

Одним из методов приближенного вычисления значений интегралов, при котором погрешность оценивается не гарантированно, а лишь с некоторой степенью достоверности, является метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).

Рассмотрим функцию f(x), заданную на интервале a<x<b. Требуется приближенно вычислить интеграл: (1)

Выберем произвольную плотность g(x), определенную на интервале (a,b) (то есть произвольную функцию g(x), удовлетворяющую следующим условиям: 1) g(x)положительна g(x)>0; 2) Интеграл от плотности g(x) по всему интервалу (a,b) равен 1: ). Как правило, за g(x) принимают плотность равномерного распределения (то есть для ).

Рассмотрим случайную величину .

Математическое ожидание этой величины:

(2)

Таким образом, одномерные интеграл можно рассматривать как математической ожидание случайной величины Y(X).

Рассмотрим теперь N одинаковых случайных величин Y₁,Y₂,..,Y_N, применим к их сумме центральную предельную теорему теории вероятностей. тоже есть случайная величина с математическим ожиданием , причем при N→∞ распределение стремится к гауссову распределению с дисперсией . Тогда по «правилу трех cигм»:

,

делим на N : ,

учитывая (2), получаем:

Последнее соотношение означает, что если мы выберем N достаточно большим, тогда:

. (3)

Оно показывает также, что с очень большой вероятностью ошибка приближения (3) не превосходит .

Таким образом:

1) Генерируем такие, что . Здесь γ_i - случайное число, равномерно распределенное на интервале [0, 1].

2) Рассмотрим N случайных величин ( )

3) Вычисляем

На практике интегралы вида (1) методом Монте-Карло не вычисляют, для этого есть более точные методы – квадратурные формулы. Однако при переходе к многократном интегралам положение меняется: квадратурные формулы становятся слишком сложными, а метод Монте-Карло остается почти без изменений.

Поясним его на примере вычисления m-кратного интеграла от ограниченной функции , заданной в m-мерном прямоугольном параллелепипеде, каждая сторона которого параллельна соответствующей координатной оси, а ее проекция на эту ось – [a_i, b_i].

Пусть в рассматриваемой m-мерной области генерируются независимые случайные точки. Закон их распределения для удобства реализации обычно выбирается равномерным. Тогда плотность распределения случайных точек равна 1/V, где V – объем параллелепипеда, равный произведению длин m его сторон. При этом математическое ожидание случайной величины с той же плотностью распределения 1/V равно:

Из полученного результата следует: поскольку точное значение интеграла равно математическому ожиданию случайной величины Y, то за численное значение интеграла можно принять оценку математического ожидания этой величины:

,

где X_i – i-я реализация вектора .

В качестве характеристики разброса значений I_n можно использовать среднее квадратическое отклонение , которое в рассмотренном примере равно: .

Его текущее значение может служить критерием окончания цикла сложения Y_i. n будет являться числом проб. При известной и заданной оценке погрешности n легко находится. Если же неизвестно, то находим Y_max, Y_min, тогда