5. Свойства ковариации и коэффициента корреляции.
Корреляционные моменты
Пусть имеется
система с.в.
.
Возьмем 2 сл.в.
Опр.
Корреляционным моментом с.в.
и
называют
центральный момент порядка
и обозначают соответственно
Если известна совместная плотность для 2-х сл.в.:
Пусть
-совместная
плотность для с.в.
,
тогда
Замечание: для
дискретных сл.в.
:
Другое обозначение корреляционного момента
-ковариация
Введем обозначение
корреляц. момента двух с.в.
Пусть имеется
система с.в.
.
Для каждой пары с.в. вводятся корр.
моменты
.
Множество корр. моментов -
Опр. Ковариационной матрицей системы с.в. будем называть матрицу из корреляц. моментов
Эта матрица –
квадратная, размерность
.
На главной диагонали
-симметричная
Свойства корреляционных моментов:
1.
Док-во: Следует из определения
=
=
2.
Док-во:
3.
Док-во: = =
= =
4.
-с.в.
Док-во:
по определению
5.
Док-во:
=
=
=
=умножим
и воспользуемся
св-вом линейности мат.ожидания =
=
=
=
ч.т.д.
6.
,
где
,
Док-во:
1) Пусть
2) Пусть
Объединяя 2 полученных неравенства:
Коэффициент корреляции
Опр.
Коэффициентом корреляции с.в.
называют число
Свойства:
Для того чтобы
Док-во: следует
из определения
Если с.в. связаны линейной зависимостью. Именно:
,
то
(Справедливо и обратное утверждение)
Док-во:
=
=
=
==
=(по
свойству дисперсии)=
Т.о.
Замечание:
Док-во: следует из свойства 6 корр. моментов и определения коэф. корреляции.
Опр. С.в. называют некоррелированными, если их корреляционный момент =0
(
)
, в противном случае, когда
, с.в. называют коррелированными.
Понятие коррелированности более слабое чем независимости. (коэффициент корреляции – мера зависимости с.в.)
r<0 r=0 r>0
r
-1 0 1
сл. в. зависимы сл. в. зависимы
сл. в. независимы
r = -1 сл. в. связаны обратной линейной зависимостью.
r = 1 сл. в. связаны прямой линейной зависимостью.
r<0 отрицательная корреляция.
r>0 пололжительная корреляция.
Пусть имеется
система
с.в.
Между каждой парой этих с.в. можно найти корреляционный момент.
Для данной системы
с.в. можно ввести
-коэффициент
корреляции
,
-эту
матрицу будем называть корреляционной
матрицей
Матрица симметрична
6. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
Линейная функция одной случайной величины.
Пусть имеется случайная величина Х с плотностью .
Введена функция
,
где
и
некоторые константы. (
)
Найдем распределение
Найдем функцию распределения:
Вычислим плотность
2 Графика(!!!)
Линейная функция равномерно распределенной сл. в.
Пусть сл. в.
равномерно распределена на
Линейная функция гаусовской сл. в.
Пусть сл.в.
Линейная функция гауссовской случайной величины также является гауссовской сл. в. с соответствующими параметрами.
Произвольная функция одной случайной величины.
Пусть имеется с.в. Х с соответствующей плотностью f(x). Задана функция Y=(X), где (x) непрерывно дифференцируема в области изменения х, имеет обратную функцию х=(y).
m<Y<M, где m=Inf (x), M=Sup (x)
Теорема:
При сформулированных выше условиях
плотность
Док-во:
Теорема: Пусть задана с.в. Х с плотностью распределения f(x). Введена функция Y=(X), где функция (X)
непрерывно диф-я,
кусочно-монотонная функция.
-
непересекающиеся интервалы монотонности.
На каждом из этих интервалов запишем
обратную функцию:
Соответствующие
значения y
окажутся на интервалах
-
интервалы изменения y,
соотв. интервалам
(интервалы могут пересекаться), тогда
функцию плотности Y
можно найти по формуле:
