1. Схема бернулли, формула б., приближ. В формуле б.
Пусть проводятся испытания относительно некоторого события A, то есть либо событие происходит, либо не происходит – 2 исхода.
Пусть проводятся n испытаний относительно события A. Свяжем событие A с номером испытания.
-
событие A
не осуществляется в 1-м испытании;
- событие A
осуществляется во 2-м испытании;
…………………………………………………………;
-
событие A
осуществляется в n-м
испытании;
-
событие A
не осуществляется в n-м
испытании.
Определение:
n
испытаний относительно события A
называют однотипными,
если вероятность осуществления события
A
не зависит от номера испытания.
Определение: n испытаний относительно события A называются независимыми, если вероятность произведения любого количества из 2n событий равна произведению вероятностей событий сомножителей.
Определение:
n
испытаний проводятся
по схеме Бернулли,
если эти испытания однотипны и независимы.
Теорема:
Пусть n
испытаний относительно события A
проводятся по схеме Бернулли, тогда
вероятность, что событие A
в n
испытаниях произойдет ровно m
раз можно найти по формуле:
,
где p – вероятность осуществл. события A в одном испытании.
q=1-p – вероятность не осуществл. события A в одном испытании 0<p<1
Док-во: Введем случайное событие B – искомое событие A в n испытаниях, осуществляемое m раз.
;
-
слагаемых.
События-слагаемые – несовместные.
-
формула Бернулли. Теорема доказана.
Замечание 1:
формула Бернулли остается справедливой
и в случаях р=1, p=0,
но при формальном допущении:
Замечание 2: В
случае, когда
,
вероятность, вычисленная по формуле
Бернулли, соответствует классическому
определению вероятности:
Замечание 3:
Для вероятностей,
вычисленных по формуле Бернулли
справедливо такое соотношение:
Следствие:
Пусть n
испытаний проводятся по схеме Бернулли
относительно некоторого события A.
Тогда вероятность, что событие A
произойдет m
раз, где
,
можно найти по формуле:
Приближения в формуле Бернулли.
В случае n
испытаний, проводимых по схеме Бернулли,
формула Бернулли остается справедливой
при
,
однако, при достаточно больших n
вычисление по формуле Бернулли
затруднительно.
Воспользуемся разумными приближениями:
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Теорема:
Если n
испытаний проводятся по схеме Бернулли
относительно события A,
то вероятность
можно вычислить по формуле:
,
где р
– вероятность осуществления А в одном
испытании.
Исходя из
сформулированной теоремы при достаточно
больших n
обычно используют приближение:
- разность между
точным значением, находимым по формуле
Бернулли и приближенным значением.
Оказывается, что
наилучшим приближением будет при
значениях вероятности p
близких к
.
Чем дальше вероятность стоит от , тем хуже приближение.
При р малых или близких к 1 приближение плохое.
Приближение Пуассона.
Испытания проводятся
по схеме Бернулли
Теорема:
при выше указанных условиях вероятность
Док-во:
Для редких событий,
то есть событий, у которых вероятность
р принимает мало значений используют
приближение Пуассона при вычислении
бернулевской вероятности, где
.
Замечание 1: точность приближения Пуассона оценивается:
Замечание 2:
на практике приближение Пуассона
использую, когда
Приближение Муавра
используют для вероятности
При
можно
перейти к противоположному событию и
использовать приближение Пуассона.
Интегр т Лапласа?