Билет 16.2

Алгебраическая логика: основные идеи и подходы. Иерархия алгебраических моделей в логике.

Алгебраическая система AS = X,  ,П, где X – непустое множество, называемое носителем или основой алгебраической системы,  – множество операций, П – множество предикатов. При  =  алгебраическая система превращается в реляционную систему, а при П =  – в универсальную алгебру.

Заметим, что в  могут входить константы, которые рассматриваются как нульместные функции. Объединение множеств операций и предикатов  П называется сигнатурой.

Сам А.И. Мальцев называет сигнатуру типом, а две алгебраические системы одинаковой сигнатуры – однотипными.

Универсальные алгебры:

Группоиды, Бинарные алгебры,

Многообразия алгебр

Абстрактные алгебры:

Полугруппы, Группы,

Полурешетки, Решетки,

Полукольца, Кольца, Тела

Конкретные алгебры:

Симметрическая группа степени n,

Абелев моноид треугольных норм, Логическая решетка L4

Билет 17.1

Какие интерпретации логической истины Вам известны? Чем теория соответствия отличается от теории когерентности? Чем дескриптивные модели отличаются от нормативных (а истинность – от адекватности)? Как строится модель истинности высказывания на основе квазимер?

• Теория соответствия: истинность есть соответствие фактам: w  m.

• Теория согласованности (когерентности): высказывание считается истинным, если оно согласуется с остальной частью нашего знания: m  m*

• Теория полезности: истинность есть прагматическая пригодность или полезность.

Правдоподобность – это приближение к истине.

Уверенность – достижение требуемого уровня истинности

Адекватность - соответствие или сходство отображения(образа, знания) оригиналу, благодаря чему они имеют характер объективной истины. те соответствуют истине.

Истинность: соответствие между объектом и его описанием (первичен объект)

Полезность (==Адекватность?): соответствие между предписанием и его объектом (первично предписание)

Функционирование любого агента опирается как на описания, так и на предписания. Описания содержат информацию о состояниях среды, воспринимаемых агентом, а предписания о возможных действиях агента на эту среду.

Дескриптивная модель (описание): «как есть» p = X is A, T(p)

Нормативная модель (предписание): «как должно быть» q = X does A, M(p)

Билет 17.2

Что такое приближенное множество? Как оно задается?

Пусть Х – множество, а R  XX – отношение неразличимости (эквивалентности).Тогда пара=(Х, R) образует пространство приближений.

Классы эквивалентности по отношению R называются элементарными множествами в пространстве приближений , а любая совокупность элементарных множеств образует составное множество в . Произвольное подмножество A X можно точно определить на основе имеющейся информации, т.е. классов эквивалентности. Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами, которые называются нижним приближением RХ = {x x_R X} (наибольшее составное множество, содержащееся в Х) и верхним приближением RХ = {x x_RX} (наименьшее составное множество, содержащее X) соответственно.

Нижнее приближение есть множество всех объектов, которые определенно принадлежат Х, а верхнее приближение – множество всех объектов, которые возможно принадлежат Х.

Приближенное (аппроксимируемое) множество расположено между этими двумя приближениями RХ  Х.

Для каждой пары приближений различаются три различных области:

1) POS_R (Х) = RХ (R – положительная область X, в которой все объекты определенно принадлежат множеству X);

2) NEG_R (Х) = U \ Х (R – отрицательная область X, в которой все объекты определенно принадлежат дополнению X' к множеству X);

3)BND_R(Х) = Х \ RХ (R-пограничная область X, где содержатся все объекты, которые не могут быть с определенностью отнесены ни к X, ни к его дополнению X'.