§3. Векторний добуток векторів. Властивості, геометричний зміст

Введемо поняття правої та лівої трійки векторів. Нехай маємо три вектори , які мають спільний початок. Ці вектори не компланарні, а отже не лежатимуть в одній площині. Упорядкована трійка не компланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки. Якщо ж такий поворот здійснюється за годинниковою стрілкою, то трійку називають лівою.

Дамо означення добутку векторів, в результаті якого буде одержано вектор. Такий добуток називають векторним.

Означення

Векторним добутком двох векторів називається вектор , який задовольняє таким умовам:

1. довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах , тобто:

;

2. вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма , тобто перпендикулярний і до вектора і до вектора .

;

3. Вектори , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів.

Векторний добуток вектора на вектор позначають або

або .

Якщо вектори – множники взаємно перпендикулярні, то в цьому випадку паралелограм побудований на векторах буде прямокутником, а отже

.

Зрозуміло, що коли вектори - колінеарні, то паралелограм побудувати на цих векторах неможливо, а тому .

Векторний добуток не комутативний (не володіє переставною властивістю).

.

Векторний добуток володіє сполучною та розподільною властивостями.

Якщо - деяке число, то

Якщо відомі координати векторів , то використовуючи визначник можна обчислити векторний добуток цих векторів.

, , тоді .

Тут - орти, одиничні вектори осей координат, .

Використовуючи векторний добуток, можна обчислювати площу паралелограма, побудованого на цих векторах та площу трикутника, побудованого на цих векторах.

Для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на векторах достатньо знайти модуль їх векторного добутку

.

Наприклад. Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах .

S=

кв.од.

Площа трикутника дорівнює половині площі відповідного паралелограма .

Отже, площа трикутника, побудована на векторах

кв. од.

Введення векторного добутку дає можливість сформулювати ознаку колінеарності векторів по-іншому.

Два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток дорівнює нулю.

Завдання для розв’язування.

1. Знайти площу заданого трикутника та, використовуючи площу, знайти довжини його висот, якщо А(1;-1;2), В(5;-6;2), С(1;3;-3).

2. Дано точки А(0;1;3), В(3;4;5), С(-1; -2;-3). Знайти:

1. площу паралелограма, побудованого на векторах та його висоти;

2. площу паралелограма, побудованого на векторах та його висоти;

3. площу паралелограма, побудованого на векторах та його висоти.

Які висновки можна зробити?

3. Дано: Обчислити .

4. Які умови повинні задовольняти вектори , щоб вектори 5 і 2 були колінеарними?