§ 2. Лінійно-залежні і незалежні системи векторів. Векторний базис.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують числа , такі, що , причому числа не можуть одночасно бути нулями.

Якщо ж рівність можлива лише за умови

, то вектори називають лінійно-незалежними.

Нехай маємо рівність , причому , тоді одержимо

або

.

Позначимо ,

Одержимо .

Праву частину одержаного виразу називають лінійною комбінацією векторів. Якщо вектори лінійно-залежні, то принаймні один з них можна представити у вигляді лінійної комбінації інших.

Покажемо, що має місце обернене твердження. Якщо деякий вектор є лінійною комбінацією інших, то ці вектори лінійно залежні.

Перенесемо вектор в праву частину рівності

.

Очевидно, що не всі коефіцієнти рівні нулю. Наприклад, коефіцієнт перед вектором . Отже, система векторів - лінійно-залежна.

Розглянемо лінійну залежність векторів на площині.

Теорема. Будь-які три вектори (кожен з яких відмінний від нуль- вектора) на площині лінійно-залежні.

Доведення

Розглянемо два випадки.

1. Якщо серед цих трьох векторів знайдеться два колінеарних. Нехай вектори колінеарні , то , причому ⋏≠0.

Отже, у цьому випадку буде правильна рівність , то вектори - лінійно залежні.

2. Якщо вектори неколінеарні.

Відкладемо ці вектори від однієї точки.

Добудуємо паралелограм, для якого вектор буде діагоналлю, а його сторони лежатимуть на тих прямих, що й вектори .

Очевидно, що .

Вектори і та і - колінеарні, тобто де не дорівнюють нулю. Отже, . Тобто вектори – лінійно -залежні, що й треба було довести.

З доведеної вище теореми слідує, що якщо на площині взято більше трьох векторів, то система цих векторів буде лінійно-залежною. Оскільки три вектори лінійно-залежні, а перед рештою достатньо взяти коефіцієнти рівні нулю.

Для того, щоб два вектори на площині були лінійно-незалежними необхідно й достатньо, щоб ці вектори не були колінеарними.

Розглянемо лінійну залежність векторів у тривимірному просторі.

Теорема. Будь-які чотири вектори (кожен з яких відмінний від нуль-вектора) у просторі лінійно-залежні.

Розглянемо два випадки:

1. Якщо серед даних чотирьох векторів знайдеться трійка компланарних, то ці три вектори лінійно-залежні, оскільки будь-які три вектори, що лежать в одній площині, є лінійно-залежними. Нехай компланарні вектори , тоді

, де одночасно не дорівнюють нулю.

, то система векторів лінійно-залежна, що треба було довести.

2. Якщо серед векторів не знайдеться трійки компланарних, тоді відкладемо всі ці вектори від однієї точки.

Добудуємо паралелепіпед, для якого

Очевидно, що . Вектори ; ; - колінеарні, тому

- числа, відмінні від нуля.

Отже, , причому коефіцієнти відмінні від нуля, а отже система векторів - лінійно-залежна, що й треба було довести. Очевидно, що коли в просторі взято більш, ніж чотири вектори, то система цих векторів буде лінійно-залежною, оскільки система чотирьох векторів у просторі лінійно-залежна, а коефіцієнти перед рештою векторів можна взяти рівними нулю.

Очевидно, що три вектори в просторі будуть лінійно-незалежними лише тоді, коли вони будуть не компланарними.

Базисом на площині називають будь-які два не колінеарні вектори. Зрозуміло, що ці вектори будуть лінійно-незалежними.

Якщо вектори знаходяться на площині, і вони не колінеарні, то ці вектори є лінійно-незалежними, а тому утворюють базис. Будь-який інший вектор цієї площини може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базису.

. Коефіцієнти розкладу називаються координатами вектора у базисі, утвореному векторами .

Базисом тривимірного простору називають трійку будь-яких лінійно-незалежних векторів.

Отже, щоб три вектори утворювали базис тривимірного простору достатньо, щоб ці вектори не були компланарними.

Нехай вектори утворюють базис тривимірного простору. Будь-який четвертий вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів , тобто . Коефіцієнти розкладу називають координатами вектора у базисі, утвореному векторами .

Розклад вектора за даним базисом є єдиним.

Зазначимо, що для того, щоб вектори утворювали базис необхідно й достатньо, щоб визначник рядками (стовпцями) якого є координати цих векторів не дорівнював нулю.

Зрозуміло, що для двовимірного простору (площин) таких векторів має бути два і кожен з них матиме лише дві координати.

Для тривимірного простору векторів має бути три і кожен з них матиме три координати.

Покажемо як застосувати матеріал викладений вище для розв’язування задач.

Приклад 1.

Дано вектор

Довести, що вектори утворюють базис та знайти координати вектора у цьому базисі.

Покажемо, що вектори утворюють базис. Для цього обчислимо визначник.

.

Отже, вектори утворюють базис. Нехай вектор у цьому базисі має координати . Це означає, що або

Для розв’язування цієї системи скористаємось методом Крамера.

,

.

Отже,

Отже, у цьому базисі .

Приклад 2.

Довести, що вектори утворюють базис тривимірного векторного простору та знайти координати вектора у цьому базисі. .

Розв’язання

Покажемо, що вектори утворюють базис тривимірного простору. Для цього обчислимо визначник

Отже, вектори утворюють базис. Нехай у цьому базисі вектор , тоді .

Запишемо цю рівність у вигляді системи:

.

Одержану систему розв’яжемо методом Крамера.

;

Отже, у цьому базисі

Задачі для розв’язування

1. Довести, що вектори утворюють базис двохвимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі, якщо :

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. .

2. Довести, що вектори утворюють базис тривимірного векторного простору та знайти координати вектора у цьому базисі:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.