§9. Системи лінійних рівнянь. Невизначені системи. Метод Гаусса.

Нагадаємо, що систему виду

де - деякі числа, які називають коефіцієнтами системи; – змінні; - вільні члени називають системою n лінійних рівнянь з n невідомими.

Розв’язком системи називають упорядковану n-ку чисел , які при підстановці у кожне рівняння системи, перетворюють його у правильну числову рівність.

Систему називають сумісною, якщо вона має розв’язки, і несумісною, якщо вона розв’язків не має.

Якщо система має лише один розв’язок, то її вважають визначеною. Якщо система має безліч розв’язків, то ця система невизначена.

Одним з методів розв’язування систем лінійних рівнянь є метод, запропонований Гауссом. Цей метод полягає у послідовному виключенні невідомих. Він дає змогу звести систему рівнянь до трапецієвидного виду, виконуючи перетворення, які називають елементарними:

1. будь-яке рівняння системи можна помножити на довільне число, відмінне від нуля;

2. до будь-якого рівняння системи можна додати інше рівняння системи, помножене на деяке число;

3. рівняння системи можна переставляти місцями.

Виконання цих перетворень не порушує рівносильності систем.

За допомогою перетворення 2) можна з усіх рівнянь, крім першого, вилучити (при умові , то на місце першого рівняння потрібно перемістити інше рівняння, в якому коефіцієнт при не дорівнює нулю). Далі з усіх рівнянь, крім перших двох, вилучимо в результаті одержимо так звану східчасту (трапецієвидну)систему при умові, що система невизначена або несумісна.

(1)

або систему трикутного вигляду при умові, що система визначена .

(2)

У випадку, якщо кінцева система набуде вигляду системи 2, то її розв’язок знаходять, починаючи з останнього рівняння системи.

Якщо кінцева система має вигляд системи 1, то вона буде несумісною, якщо серед чисел є принаймні одне число відмінне від нуля.

Якщо ж , система (1) сумісна і невизначена, тобто вона має безліч розв’язків. При цьому для існує n - r вільних невідомих, тобто таких, що можуть набувати довільних значень. А інші r невідомих називають головними невідомими і виражають через вільні невідомі.

Розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручно оформлювати у вигляді перетворень розширеної матриці системи. Покажемо як це зробити на прикладах.

Приклад 1.

Розв’язати систему рівнянь

Запишемо розширену матрицю цієї системи

Помноживши перший рядок на (-2) та додавши його до другого рядка, а потім віднявши від третього рядка перший рядок, одержимо

Помноживши другий рядок останньої матриці на (-3) і додавши до останнього рядка, одержимо

Помноживши останній рядок на 2 і додавши його до другого рядка, а потім від першого рядка віднявши останній, одержимо

Віднявши від першого рядка другий, одержимо

Отже,

Приклад 2.

Розв’язати систему

Додамо до другого рядка перший, помножений на (-3), а до третього перший, помножений на (-4).

Оскільки було отримано два однакові рядки, то слід записати лише один з них, бо віднявши їх одержимо рядок нулів.

Поділивши другий рядок матриці на (-2), одержимо

Віднявши від першого рядка другий, одержимо

Отже, - вільна змінна

,

.

Тобто

Відповідь: - вільна змінна, .

Приклад 3.

Віднявши від другого рядка перший, а потім додавши до третього перший, помножений на (-2), одержимо

Віднявши від третього рядка другий, одержимо

Отже, одержали рядок, у якому всі числа, крім останнього, дорівнюють нулю, тому система не сумісна.

Відповідь: система розв’язків не має.

Завдання для розв’язування

Розв’язати систему методом Гауса:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .