§10. Кут між прямою та площиною.

Нехай пряма задана рівняннями

а площина Ax + By + Cz + D = 0.

Вектор - напрямний вектор даної прямої. Вектор - нормальний вектор площини.

𝓁

α φ

Зрозуміло, що площина, задана векторами , перпендикулярна до даної площини. Отже пряма 𝓁₁ - проекція прямої 𝓁 на площину буде належати площині, заданій векторами .

Кут між прямою і площиною – це кут між прямою і її проекцією на площину. На малюнку цей кут позначено φ. Зрозуміло, що α + φ = .

Знайдемо кут α між векторами .

.

Так як кут α повинен бути гострим, а одержаний дріб може набувати від’ємних значень , тобто кут між векторами може бути тупим, то

.

Тоді

,

Зазначимо, що у випадку, коли пряма 𝓁 виявиться паралельною площині, то її напрямний вектор буде перпендикулярний нормальному вектору площини, а отже .

- умова паралельності прямої і площини.

Якщо пряма 𝓁 виявиться перпендикулярною до площини, то в цьому випадку вектори будуть колінеарними, тому

або

З’ясуємо, за яких умов дві прямі лежать в одній площині.

Нехай прямі задані канонічними рівняннями і .

Перша пряма проходить через точку і має напрямний вектор . Друга пряма проходить через точку і має напрямний вектор . Так як прямі лежать в одній площині, то

вектори і - компланарні. А отже, їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Тому - умова належності двох прямих площині.

Умови належності прямої площині

З’ясуємо, за яких умов пряма задана рівняннями

- належить площині

Ax+ By+ Cz+ D =0.

Зрозуміло, що пряма проходить через точку і має напрямний вектор . Так як точка належить площині, то її координати задовольняють рівняння площини. Отже, маємо правильну рівність

A +B +C +D=0.

Вектор належить площині, а вектор перпендикулярний до неї, то

. Отже,

– умова належності прямої площині.

Задачі для розв’язування:

1. Знайти кут між прямою, заданої рівняннями

і площиною 5x+3y+4z+8=0.

2. Знайти кут між прямою, що проходить через точки А(-3; 7; 8), В (3;5;9) і площиною 2x-3y-4z+6=0.

3. Написати рівняння прямої, що проходить через точку А(3; 5; 7) паралельно до площини -2x+4y+5z-3=0. Скільки розв’язків має ця задача?

4. Знайти кут між прямою і площиною, якщо пряма й площина задані рівняннями:

2х-5у+z-2=0.

5. Знайти значення параметрів і d , якщо відомо, що пряма належить площині 2x+3y-2z+ d =0.

6. Знайти значення параметрів , якщо відомо, що пряма перпендикулярна до площини 2x-3y+10z+-4 =0.

7. Записати рівняння прямої, що проходить через точку А(1;2;3) перпендикулярно до площини 7x-4y-3z+ 1 =0.

§11. Еліпс та його властивості. Канонічне рівняння еліпса.

Еліпсом називають множину точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок залишається сталою. Будемо позначати її 2а. Точки називаються фокусами еліпса.

Виведемо рівняння еліпса.

Нехай фокуси належатимуть осі х, а початок координат буде серединою відрізка Позначимо . Отже, .

у

В М(x;y)

A

x

F₂

0

F₁

Нехай M(x;y) – довільна точка еліпса. Тоді

M ; M .

За означенням

M

Отже, + =2 .

Одержане рівняння задає еліпс.

Перетворимо його .

,

Піднісши до квадрату, одержимо

,

Позначимо . Це можна зробити, так як , а тому

Одержимо рівняння – канонічне рівняння еліпса.

Очевидно, що еліпс симетричний відносно обох осей координат, бо змінна х і змінна у входять до його рівняння у другому степені.

.

Знайдемо точки перетину еліпса, заданого канонічним рівнянням, з осями координат.

Якщо еліпс перетинає вісь х, то у=0.

Якщо еліпс перетинає вісь у , то х=0.

Отже, , точка В(0;

Точки називають вершинами еліпса.

А₁А – велика вісь еліпса, В₁В - мала вісь еліпса.

Отже, - довжина великої півосі еліпса, - довжина малої півосі еліпса.

Зокрема, якщо фокуси еліпса співпадуть, то еліпс перетворюється в коло. При цьому с=0. Отже, коло – частинний випадок еліпса, в якому велика й мала півосі однакові і дорівнюють радіусу кола.

Відношення відстані між фокусами еліпса до його великої осі називають ексцентриситетом еліпса.

=

Очевидно, що , бо . Зокрема, якщо с=0, то =0, маємо коло.

Отже, ексцентриситет показує настільки еліпс було стиснуто.

. Звідси

.

Отже, чим більше , тим меншим повинно бути відношення . При мала піввісь буде зменшуватись, а велика збільшуватись.

Отже, чим більше значення , тим більш витягнутий еліпс.

Нехай маємо еліпс, заданий рівнянням і цей еліпс витягнутий вздовж осі х, тобто . Дві прямі, що перпендикулярні до великої осі еліпса і знаходяться на відстані від центру еліпса, називаються директрисами еліпса. Отже, директриси мають рівняння .

Оскільки , то .

Отже, директриси проходять поза межами еліпса.

Якщо M відстань від точки еліпса до відповідної директриси, MF=r – відстань від цієї точки до відповідного фокусу, то .

Задачі для розв’язування

1. Знайти велику й малу півосі, центр і побудувати еліпс для всіх точок якого сума відстаней до точок стала величина, що дорівнює , якщо:

1. 

2. 

3. .

2. Знайти a, b, c, , якщо еліпс задано рівнянням

3. Звести рівняння еліпса до канонічного та вказати його параметри.