§9. Рівняння прямої у просторі: перетином двох площин, через дві точки, канонічне

Нехай маємо дві площини, задані рівняннями

.

Якщо їх нормальні вектори

не колінеарні, то площини перетинаються. Як відомо дві площини можуть перетинатися лише по прямій.

Отже, система

задає пряму у просторі.

Ця пряма є прямою перетину цих площин.

Систему називають загальним рівнянням прямої в просторі.

2. Канонічне рівняння прямої

Нехай дано точку і ненульовий вектор . Потрібно скласти рівняння прямої, що проходить через точку , паралельно вектору . Нехай M (x;y; z) – довільна точка цієї прямої. Тоді вектори

(x- , y- ; z- ) і вектор - колінеарні, а отже їх відповідні координати пропорційні. Тобто маємо рівняння

.

Ці рівняння називають канонічними рівняннями прямої.

Зазначимо, що в цьому рівнянні деякі із знаменників можуть дорівнювати нулю. Цей нуль слід сприймати як відповідну координату вектора .

Зокрема, якщо площині ; якщо якщо то пряма паралельна площині x .

Якщо паралельна осі .

Якщо

Якщо , то пряма паралельна осі х.

3. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки і . Нехай M(x;y;z) - довільна точка прямої, відмінна від точок . Тоді вектори ( - , y- , z- ) і

колінеарні, оскільки належать одній прямій, а отже, їх відповідні координати пропорційні.

Отже, - рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Зазначимо, що в цьому випадку в знаменниках теж можуть стояти нулі. Наприклад, . Це означає, що пряма паралельна площині (перпендикулярна до осі х).

пряма паралельна площині (перпендикулярна осі у).

пряма паралельна площині (перпендикулярна осі ).

4. Параметричні рівняння прямої

Скористаємося канонічним рівнянням прямої

.

Нехай кожне з цих відношень дорівнює t.

або

- параметричні рівняння прямої, t- параметр.

5. Кут між прямими

Нехай задано дві прямі

.

- їх напрямні вектори. Кут між цими прямими знайдемо як кут між їх напрямними векторами.

Для цього скористаємося скалярними добутком векторів.

, - кут між векторами , тоді

Отже,

Якщо , то знайдений кут є кутом між прямими.

Якщо , то щоб знайти кут між прямими потрібно змінити знак знайденого виразу.

Якщо , то прямі перпендикулярні.

Задачі для розв’язування:

1. Знайти рівняння прямої у кожному з таких випадків:

1. пряма проходить через початок координат і паралельна прямій, яка проходить через точки ;

2. пряма перпендикулярна площині о і проходить через точки ;

3. пряма паралельна осі ох і проходить через точку ;

4. пряма проходить через точку і паралельна площинам оху і о .

2. Знайти канонічне рівняння прямої в кожному з випадків:

1. пряма проходить через точку паралельно прямій ;

2. пряма належить площині , перетинає пряму

і перпендикулярна до цієї прямої;

3. пряма проходить через точку паралельна площині

і перетинає пряму .

3. Знайти відстань від точки до даної прямої .