§7. Рівняння площини в просторі

1. Рівняння площини, що проходить через дану точку, перпендикулярно до заданого вектора

Зазначимо, що рівняння f(x,y,z)=0 визначає в просторі деяку поверхню, тобто множину всіх точок простору, координати яких задовольняють це рівняння.

Рівняння f(x,y,z)=0 називають рівнянням цієї поверхні.

Нехай маємо точку і деякий вектор , причому .

Складемо рівняння площини, яка проходить через точку і перпендикулярна до вектора . Нехай точка (x;y;z) – довільна точка цієї площини. Тоді вектор (x- буде перпендикулярним до вектора , отже, їх скалярний добуток дорівнюватиме нулю.

.

Одержимо - шукане рівняння площини.

Отже, рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора має вигляд

.

2. Загальне рівняння площини

Розкривши дужки у рівнянні , одержимо

.

Позначивши число , одержимо

- загальне рівняння площини.

У цьому рівнянні - нормальний вектор даної площини.

Покажемо, що будь-яке рівняння виду є рівнянням площини.

У цьому рівнянні принаймні один з коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Нехай С≠0, тоді одержимо

.

Одержали рівняння площини з нормальним вектором , що проходить через точку ) , що й треба було довести.

Отже, будь-яке рівняння виду задає площину.

3. Неповне рівняння площини

Рівняння площини називають неповним, якщо хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю. Розглянемо можливі випадки:

1. . Одержимо рівняння . Очевидно, що координати точки О(0;0;0) задовольняють це рівняння.

Отже, - це рівняння площини, що проходить через початок координат.

2. А=0. Одержимо рівняння . У цьому випадку вектор . Вектор (1;0;0) – одиничний вектор осі ox.

Отже, вектор перпендикулярний осі х, а тому площина задана рівнянням паралельна осі х.

3. В=0. Тоді

- одиничний вектор осі y.

.

Отже, , тому площина задана рівнянням паралельна осі у.

4. С=0, тоді

, то .

А отже, площина задана рівнянням паралельна осі z.

5. А=0, В=0, то або z= - . Ця площина паралельна одночасно осі х і осі у, а отже - рівняння площини, паралельної площині ху. Зокрема, якщо D=0, одержимо Cz=0, z=0- рівняння площини xy.

6. А=0, С=0. Тоді або y= - .

Ця площина паралельна осі х і осі z. Отже, - рівняння площини, паралельної площині хz. Зокрема, при , , у=0 – рівняння площини хz.

7)В=0, С=0. Тоді . Ця площина паралельна осі у і осі z, а отже, паралельна площині уz, тому рівняння задає площину, паралельну площині уz. Зокрема при , одержимо , х=0- рівняння площини уz.

8)А=0, . У цьому випадку одержимо рівняння . Ця площина проходить через точку (0;0) і її нормальний вектор перпендикулярний вектору . Отже, це рівняння площини, що містить вісь х.

9)В=0, . - рівняння площини, що містить вісь у, бо її нормальний вектор перпендикулярний вектору і вона проходить через точку (0;0;0).

10)С=0, . Нормальний вектор цієї площини перпендикулярний вектору і площина проходить через точку О(0;0;0) . Тому це рівняння задає площину, що містить вісь .

4. Рівняння площини у відрізках

Скористаємося загальним рівнянням площини.

Якщо А≠0, В≠0, С≠0, D≠0, то

Позначивши ,одержимо – рівняння площини у відрізках. Тут a, b,c – відрізки, які відтинає площина на осях координат.

5. Рівняння площини, що проходить через три дані точки .

Нехай - довільна точка цієї площини. Тоді вектори

- компланарні , а отже, їх мішаний добуток дорівнює нулю, тому рівняння площини можна записати у вигляді

6. Рівняння площини, що проходить через точку паралельно двом заданим векторам

Запишемо рівняння площини, що проходить через точку паралельно векторам . Нехай M(x;y;z)- довільна точка цієї площини. Тоді вектори , - компланарні, а тому їх мішаний добуток дорівнює нулю.

7. Рівняння площини,що проходить через дві точки паралельно даному вектору

Нехай площина проходить через точку паралельно вектору M(x;y;z)- довільна точка цієї площини. Тоді вектори

- компланарні.

А отже, їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Тому .

Задачі для розв’язування:

1. Знайти рівняння площини, яка:

1)паралельна осі у і проходить через точки М (2; -1; 2) і N(-4; 3; 7);

2)паралельна осі z і проходить через точки А((1; 2; 3) і В(-4; 3; 5);

3)паралельна осі х і проходить через точки А(1; -4; 5), В(2; -3; 1).

2. Знайти рівняння площини, яка проходить:

1)через вісь х і точку А(1; 3; 7);

2)через вісь y і точку В(2; 3; 4);

3)через вісь z і точку С (1; -2; 3).

3. Знайти рівняння площини, яка перпендикулярна вектору N(1; -2; 2).

4. Знайти рівняння площини, що проходить через точки:

1. А(2; 0; 0), В( 0; 5; 0), С(0; 0; 7);

2. А(-2;0;0), В(0; -8; 0), С(0; 0; 2);

3. А(7; 0; 0), В(0; -1; 0), С(0; 0; 2).

5. Знайти рівняння площини, що проходить через три точки:

1. А(1; 2; 3), В(5; -1; 2), С( 0; -5; -4), С(0; -5; -4).

2. А(-1; 3; 7), В(3; -2; 8), С(3; 4; -5).

6. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки А(1; 2; 3), В(-3; 5; 7) паралельно вектору

7. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М(1; 2; 3) паралельно вектору