§6. Основні задачі на пряму на площині.

1. Напрямний вектор.

Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки

Зрозуміло, що і - деякі числа одночасно не рівні нулю, оскільки точки різні. Нехай точка - довільна точка прямої. У такому випадку в чисельниках дробів записані координати вектора , а у знаменниках координати вектора , причому ці вектори колінеарні, оскільки вони лежать на одній прямій, а їх відповідні координати пропорційні.

Отже, точка належатиме прямій лише тоді, коли вектор ,буде напрямлений вздовж прямої . Цей вектор називають напрямним вектором даної прямої. Зрозуміло, що будь-яка пряма має безліч напрямних векторів, оскільки помноживши вектор на будь яке число ⋏, відмінне від нуля, одержимо вектор колінеарний вектору . При ⋏0 ці вектори співнапрямлені, при ⋏0 – протилежно напрямлені до вектора , але у нашому випадку це значення не має, оскільки кожен з них розташовується на даній прямій.

Знайдемо координати напрямного вектора прямої, що проходить через точки K(-2;-3) і L(7;9).

Знайдемо рівняння даної прямої

;

.

Скоротивши знаменники на 3, одержимо

Отже,

Будь-який вектор, колінеарний вектору теж буде напрямним для даної прямої.

2. Вектор нормалі

Запишемо загальне рівняння прямої

Ax+By+С=0.

Нехай ця пряма проходить через точки і , тоді координати цих точок задовольняють рівняння прямої.

Отже, маємо рівність

Віднявши від рівності ( 2) рівність (1), одержимо

.

Врахувавши, що , , одержимо

, - напрямний вектор прямої.

Ліва частина рівності ( 3) є скалярним добутком двох, відмінних від нуль-вектора, векторів ,

Оскільки скалярний добуток векторів і дорівнює нулю, то це означає, що вектори і взаємно перпендикулярні.

Так як вектор - напрямний вектор прямої , то вектор - перпендикулярний(нормальний) вектор до даної прямої.

Вектор називають нормальним вектором, або вектором нормалі.

Отже, якщо пряма, записана загальним рівнянням Ax+By+С =0, то нормальний вектор до даної прямої.

Зрозуміло, що будь-який вектор колінеарний вектору теж буде нормальним вектором даної прямої.

3. Нормальне рівняння прямої

у

Р

М

1. х

нормальне рівняння прямої де x, y – координати довільної точки М даної прямої; - довжина вектора (нормалі), проведеного з початку координат на пряму ( ), – кут нахилу вектора до осі х.

4. Відстань від точки до прямої

Нехай пряму 𝓁 задано рівнянням Ax+By+С =0. Поза цією прямою взято точку . Знайдемо відстань від точки до прямої 𝓁.

Розглянемо спочатку випадок, коли пряма 𝓁 не вертикальна, тоді В≠0.

,

– кутовий коефіцієнт 𝓁, тоді кутовий коефіцієнт прямої

.

То рівняння прямої можна записати у вигляді

.

Враховуючи, що пряма проходить через точку , одержимо

.

Отже, пряма має рівняння:

у



0

𝓁 х

Точка належить одночасно прямим 𝓁 і . Отже, щоб знайти її координати, достатньо розв’язати систему : .

;

;

.

, то

Позначивши - формула відстані від точки до прямої Ax+By+С =0.

Якщо ж пряма вертикальна, то її рівняння можна записати у вигляді Ax=-С, В=0, тоді .

Точка поза цією прямою.

Відстань від точки до прямої

= .

Отже, у обох випадках .

5. Кут між прямими

Нехай прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом i

, тоді , , де - кути нахилу прямих до осі х.

Кутом між прямими будемо називати менші з кутів, що утворюються при їх перетині.

отже, або

При виведенні цієї формули було взято, що . Якщо ж при розрахунку виявиться числом від’ємним , то зрозуміло, що знайдений кут буде тупим. Щоб знайти гострий кут між прямими, достатньо змінити знак одержаного виразу.

Якщо прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти однакові , а отже . В такому випадку кут між прямими буде дорівнювати нулю. Кут між прямими можна знайти як кут між їх нормальними векторами.

Нехай

Тоді , - нормальні вектори цих прямих.

Отже,

,

,

.

Отже,

Якщо виявиться, що , то це означатиме, що знайдено тупий кут між прямими. Щоб знайти гострий кут, достатньо буде змінити знак одержаного виразу, оскільки . Щоб знайти гострий кут між прямими, достатньо скористатися однією з формул

, якщо , то прямі перпендикулярні.

6. Умови взаємного розташування двох прямих на площині

Якщо прямі задані рівнянням та :

1. Якщо , то прямі перетинаються, зокрема - прямі перпендикулярні;

2. і - прямі паралельні;

3. і - прямі співпадають. Будь-яка точка першої прямої є точкою другої прямої і навпаки.

Якщо і

1. , то прямі перетинаються, зокрема, якщо то прямі перпендикулярні;

2. , то прямі паралельні;

3. - прямі співпадають.

Задачі для розв’язування.

№1 . Дано точки А(2; 5), В(3; -7), С(-1;-2), D(7;3). Записати рівняння прямих АВ і С D, вказати їх напрямні та нормальні вектори. Знайти кут між прямими. Знайти відстань від точки С до прямої АВ. Знайти відстань від точок А і В до прямої С D.

№2. В якому відношенні пряма -2х+3у-6=0 ділить відрізок MN, якщоM(-1;2), N(3;3)? Задачу розв’язати , використовуючи формулу обчислення відстані від точки до прямої.

№3. При яких значеннях параметра система не має розв’язків?

№4. При яких значеннях параметра b система

має розв’язки при будь-якому значенні параметра ?

№5 встановіть кількість розв’язків системи залежно від параметра :