17. Основные понятия и определения теории графов.

Графы описывают связи между объектами, а связи могут быть «направленными» (например, в генеалогическом дереве) или «ненаправленными» (например, сеть дорог с двусторонним движением). Поэтому в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные (орграф) и неориентированные (неорграф, н-граф). Иногда рассматривают графы смешанного типа.

  Определение. Графом G называется совокупность двух множеств: V – вершин и E – рёбер ( для н-графа) или дуг ( для орграфа). Обозначается G=G(V,E).

 Пусть V={ν₁,ν₂,..ν_n} - множество вершин. Тогда для н-графа E={e₁,e₂,…e_m}, где ребра e_k={e_i,e_j} - двухэлементные подмножества множества V; для орграфа E={e₁,e₂,…e_m}, где дуги e_k=(e_i,e_j)  - упорядоченные пары, т.е. .

Если e_k={u,v} - ребро (e=(u,v) - дуга), то вершины u и v называются концами ребра (u- началом, v- концом дуги); вершины u и v называются инцидентными ребру (дуге) e, а ребро (дуга) e инцидентным (ой)  вершинам  и u; вершины u и v называются смежными, если они являются концами одного ребра (дуги).

  Ребро (дуга), концевые вершины которого совпадают, называется петлёй. Рёбра (дуги), инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными или кратными. Граф, содержащий кратные рёбра (дуги), называется мультиграфом. Граф называется конечным, если множества V и E конечны, пустым – если множество его вершин V (а значит и рёбер) пусто. Некоторые вершины могут не войти в список пар множества E, они называются изолированными. Граф, у которого все вершины изолированные, называется нуль-графом; антиподом нуль-графа является полный граф: его рёбрами являются все возможные пары его вершин (у него нет петель и кратных рёбер).

   Определение. Степенью вершины v (обозначается ρ(v)) называется количество всех инцидентных ей рёбер.

   Если m – число рёбер н-графа G, то =2m. Предполагается, что петля даёт вклад 2 в степень вершины. Для вершин орграфа определяются также две локальные степени. 

  Определение. Степенью выхода вершины v (обозначается ρ⁺(v) или  

ρ1(v)) называется число дуг с началом в вершине v; степенью входа вершины v (обозначается ρ^-(v)  или ρ2(v)) - число дуг с концом в вершине v; ρ(v)= ρ^-(v) + ρ⁺(v) . Если m – число дуг орграфа G, то = =m, причём петля даёт вклад 1 в обе степени.

18. Способы задания графов (пара множеств, рисунок, матрица инцидентности, матрица смежности, список ребер (дуг)).

1. Задание графа парой множеств V и E , когда каждое ребро (дуга) определено парой инцидентных ему вершин.

Пример. G=G(V,E) - граф , где V={a,b,c}, а) E={{a,b},{b,c}} - для н-графа; б) E={(a,b),(b,c)} - для орграфа.

2. Задание графа рисунком. Вершины обозначаются точками, рёбра – линиями, соединяющими точки; дуги – стрелками. При этом один и тот же граф может быть задан разными рисунками. Например, граф G=G(V,E) из примера 3.1.1, где V={a,b,c}, E={{a,b},{b,c}} можно изобразить так:

3. Задание графа матрицей инцидентности. Пусть все вершины и рёбра (дуги) графа G=(V,E) пронумерованы: V={v1,v2,v3,…vn},

E={e1,e2,e3,…em}. Матрицей инцидентности графа G называется матрица А=(аij) размера , n – число вершин, m – число рёбер (дуг):

а) для н-графа: a_ij=

б) для орграфа: a_ij=

Пример. V={v1,v2,v3, v4} – множество вершин, E={e1,e2,e3, e4, e5} – множество рёбер,

- матрица инцидентности данного графа.

V={а1,а2,а3} – множество вершин, E={1,2,3,4,5,6} – множество дуг,

- матрица инцидентности графа на рисунке.

4. Задание графа матрицей смежности. Матрицей смежности В=(bij) графа G=(V,E) называется квадратная матрица размера nn (n – число вершин), элементы которой определены следующим образом:

а)для н-графа b ij=

б)для орграфа bij=

в) для мультиграфа bij=

5. Задание графа списком рёбер (дуг). Кроме матрицы инцидентности, отношение инцидентности можно определить списком рёбер (дуг), задавая его в виде двух столбцов, в первом перечислены все рёбра (дуги), во втором - инцидентные им вершины.

Пример. Для данного графа список дуг будет иметь вид: