23. Эйлеров и Гамельтонов граф.

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу.Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.Эйлеров граф  граф, содержащий эйлеров цикл.Полуэйлеров граф — граф, содержащий эйлеров путь цепь). Разумеется, эйлеров цикл/путь существуют только в связных графах или в графах, которые после удаления всех одиночных вершин превратятся в связные.

В неориентированном графеКроме того, согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нём отсутствуют вершины нечётной степени.Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более чем две вершины нечётной степени.^[1][2]Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть четным. А значит Эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.

В ориентированном графеОриентированный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он сильно-связан и для каждой вершины графа её полустепень захода равна её полустепени исхода, то есть в вершину входит столько же ребер, сколько из неё и выходит.

Каждая вершина этого графа имеет чётную тепень, поэтому этот граф — эйлеров. Обход рёбер в алфавитном порядке даёт эйлеров цикл. Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл.

Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) — путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл является простым остовным циклом (см. Словарь терминов теории графов).

Гамильтоновы путь, цикл и граф названы в честь ирландского математика У. Гамильтона, который впервые определил эти классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру, узловые вершины которого символизировали крупнейшие городаЗемли, а рёбра — соединяющие их дороги.

Нарисуй додикайдр

26. Потоки в сетях. Нахождение максимальных потоков в сетях. Примерами нагруженных графов являются графы, изображающие сети. Сети – это системы, которые служат для транспортировки некоторых продуктов из одной точки в другую. Например, система нефтепровода, по которой течёт нефть, транспортная система, по которой перемещаются потоки грузов, водопроводная, компьютерная сети и т.д. Поскольку пропускная способность каналов сетей ограничена, то в практических задачах чаще всего требуется определить максимальные потоки, которые способны пропускать сети. Эта задача успешно решается в теории графов.

Сетью называется связный ориентированный граф G(V,E) без петель. В сети выделяют две вершины - источник (исток) и - сток. Каждой дуге ставится в соответствие число – пропускная способность дуги . Аналогично матрице смежности или матрице весов, представляющих граф, сеть можно представить матрицей пропускных способностей , где . Потоком в сети называется такая функция , определённая на множестве дуг E ( ), что 1) ; 2)

такой, что и : . Первое условие потока очевидно: величина потока в дуге не может превысить её пропускную способность. Второе условие называется условием сохранения потока: в промежуточных вершинах потоки не создаются и не исчезают. Величину называют остаточной пропускной способностью дуги . Если , то дугу называют насыщенной. Важную роль при определении максимальных потоков играет понятие разреза. Пусть множество вершин разбито на два непустых непересекающихся подмножества и : , . Множество дуг, начала которых лежат в , а концы - в , называется ориентированным разрезом, обозначается . Таким образом, . Пропускной способностью разреза называется сумма пропускных способностей входящих в него дуг. Поток в сети называется максимальным, если его величина не меньше величины любого другого потока; разрез называется минимальным, если его пропускная способность не больше пропускной способности любого другого разреза сети.

Теорема Форда-Фалкерсона. Максимальный поток в сети равен пропускной способности минимального разреза.

Алгоритм Форда-Фалкерсона нахождения максимального потока основан на следующем: а) пусть в сети есть путь из в , состоящий из ненасыщенных дуг. Тогда поток в сети можно увеличить на величину , равную минимальной из остаточных пропускных способностей дуг, входящих в этот путь. Переберём все возможные такие пути из в , проведем в них процедуру увеличения потока. В результате получим полный поток, для которого каждый путь из в содержит, по крайней мере, одну насыщенную дугу; б) рассмотрим произвольный маршрут из в , состоящий как из прямых (ориентированных от к ), так и обратных (ориентированных от к ) дуг. Пусть в этом маршруте прямые дуги не насыщены, а потоки на обратных дугах положительны. Обозначим - минимальную из остаточных пропускных способностей прямых дуг, - минимальную из величин потоков на обратных дугах. Тогда поток в сети можно увеличить на величину , прибавляя к потокам на прямых дугах и вычитая на обратных. Ясно, что при этом условие сохранения потока для вершин, входящих в рассматриваемый маршрут сохраняется. Заметим, что дуги, ставшие насыщенными, не должны входить в рассматриваемые далее маршруты. Для удобства их можно на чертеже вычёркивать. Кроме того, если в процессе перебора маршрутов все дуги, исходящие из источника или входящие в сток, стали насыщенными, то алгоритм закончен и максимальный поток найден.