1. Множества, их способы задания. Подмножество, булеан. Операции над множествами.
Определение : Множество – совокупность некоторых объектов (элементов).
Обозначения:
A,
B,
X,…
- множества; a,
b,
x,
x1,
x2,…
- элементы множеств; aЄA-
элемент а принадлежит А.
-
элемент b
не принадлежит А. Способы
задания множеств:
а) перечислением элементов, например,
X={x1,
x2,…,
xn},
б) с помощью характеристического
свойства: A={x|
p(x)}
где
P(x)
– свойство Р, которым обладает элемент
x;
в) порождающей процедурой, которая
описывает способ получения элементов
из уже имеющихся элементов.
Определения:
а)
множество В называется подмножеством
множества А, если любой элемент множества
В является элементом множества А:
б)
множества А и В называют равными,
если
они состоят из одних и тех же элементов:
в)
если B
A и
B≠A,
то В является собственным подмножеством
множества А: 
-
строгое включение. Определение:
Совокупность
всех подмножеств множества А называется
его булеаном или множеством-степенью.
Обозначается
Р(А)
или 2А
Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из одного достаточно широкого множества U, которое называется универсальным или универсумом. Операции над множествами. Проиллюстрируем операции над множествами диаграммами Эйлера - Венна, на которых множества обозначаются точками кругов внутри прямоугольника, точки которого – множество U- универсум.
1
Объединение (сумма) (обозначается
,
+): А
В = {x|
xЄА
или xЄВ};
2 Пересечение (произведение,
):
А
В
= {x|
xЄА
и xЄВ};
3
Разность ( А \ В; А – В): А \ В = {x|
xЄА
и x
В};
4
Симметрическая разность (
):
А
В=(А
\ В)
(В\А)
= {x
| (xЄА
и x
В)
или (xЄВ
и x
А)};
5 Дополнение множества
А
(
):
={x
| xЄU
и xЄА}=
U
\ A;
Обобщение операций объединения и пересечения
A1
A2
…
An
=
A1
A2
…
An
=
2.Свойства оперций над множествами. Разбиения и покрытия множеств.
Большинство свойств операций над множествами двойственны: если переставить местами Ø и U или и , то из одного свойства можно получить двойственное.
Пусть
задан универсум U,
тогда
A,
B,
C
U
выполняются свойства:
1 Идемпотентность
2 Коммутативность
3 Дистрибутивность
4 Ассоциативность
5 Свойство поглощения
6 Свойство нуля
7 Свойство единицы
8 Закон де Моргана
=
=
9
Закон двойного отрицания (инволютивности) 
=A
10 Свойство дополнения
A =U A = Ø
Доказать эти свойства можно либо с помощью диаграмм Эйлера-Венна, либо формальными рассуждениями, опирающимися на определение операций
Разбиения и покрытия множеств
Дано множество А. А ={A1, A2, A3, … An}- множество подмножеств А (семейство подмножеств).
Определение. А называется покрытием множества A, если
1.
AiЄА
(Ai
A,
Ai≠Ø);
2. A=
.
Определение. А называется разбиением множества А, если
1.
Ai
А
(Ai
A,
Ai≠Ø);
2. A=
;
3.
Ai,
Aj
А [Ai
≠ Aj
А
i
Аj
= Ø].
3. Прямое произведение множеств. Отношения (бинарные, унарные, n-нарные). Способы задания Бинарных отношений. Определение обратного отношения, дополнение отношения, тождественное отношение. Композиция бинарных отношений.
Прямым (декартовым) произведением множеств А и В (обозначается А×В) называется множество таких пар (a,b), что a A и b В:А×В = {(a,b)| a A и b В}.
Обобщение прямого произведения:
A1×A2×…×An={(x1,x2,…,xn)| a1 A1, a2 A2 ,…, an An}. Если A=B, то A×A=A^2 ; A×A×…×A=An ; A1=A; A0={Ø}. A×B ≠ B×A.
n-местным отношением P (n-местным предикатом) на множествах А1,А2,…,Аn, называется любое подмнож. прямого произведения этих множ:
P
A1×A2×…×An
и
P={(x1,x2,…xn)|x1
A1,…,xn
An}.
То,
что эл-ты x1,x2,…xn связаны соотношением
Р, записывается (x1,…,xn)
P
или P(x1,…,xn). Если P
A^n,
то Р – n-местное отношение на множ А.
n=1, то P
A1-
одноместное от-е; n=3, то P
A1×A2×A3
– тернарное.
Отношение можно задать перечислением элементов, характеристическим свойством, графически, с помощью матриц. A1={1;2}, A2={3;4}. A1×A2={(1,3), (1,4),(2,3),(2,4)}.
P1={(1;3)},
P2={(1;3);(1;4);(2;3)},тогда
Графическое задание Р, это просто.
Определения. Пусть P A×B, P={(a,b)|a A, b B}.
а)
P-1
– обратное Р
P-1
= {(b,a)|(a,b)
P},
P-1
B×A;
б)
-
дополнение
P
={(a,b)|(a,b)
P},
A×B;
в)
I
– тождественное отношение на множестве
А. I={(a,a)|a
A},
I
A2
(называют также диагональю в A2
, т.к. его матрицей является единичная
матрица);
Определение. Композицией (произведением) бинарных отношений
P1
A×B
и P2
B×C
(обозначается P1
P2)
называется отношение
Р=P1
P2
= {(a,c)|a
A,
c
C
и
b
B,
что
(a,b)
P1
и
(b,c)
P2}.
