1 . Поле бесконечной однороно заряженной плоскости. Рассмотрим поле создаваемое бесконечной плоскостью заряженной положительно с постоянной поверхностной плотностью .

Представим мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и основаниями величины , расположенными симметрично относительно плоскости. Внутри поверхности заряд . Согласно теореме выполняется условие ; .

Если поле создаётся системой n – точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q_0, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности

Энергия электростатического поля

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу dА. Работа, совершенная системой, определяется убылью энергии взаимодействия -dW зарядов Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r₁₂, численно равна работе по перемещению заряда q₁ в поле неподвижного заряда q₂ из точки с потенциалом  в точку с потенциалом :

      Будем считать аддитивную постоянную W₀, равной нулю. В этом случае W может быть и отрицательной величиной, если q₁ и q₂ - заряды противоположного знака.

 Удобно записать энергию взаимодействия двух зарядов в симметричной форме  Для системы из n точечных зарядов в силу принципа суперпозиции для потенциала, в точке нахождения k-го заряда, можно записать:

Здесь φ_k,i - потенциал i-го заряда в точке расположения k-го заряда. В сумме исключен потенциал φ_k,k, т.е. не учитывается воздействие заряда самого на себя, равное для точечного заряда бесконечности. Тогда взаимная энергия системы n зарядов равна:

Электроемкость. Физическая величина, измеряемая отношением заряда уединенного проводника к его потенциалу, называется электроемкостью проводника: . Емкость зависит от линейных размеров и геометрической формы, но не зависит от материала и его агрегатного состояния.. Емкость уединенного шара

Взаимной емкостью двух проводников называется физическая величина , численно равная заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для того , чтобы изменить на единицу разность потенциалов между ними.

№16 Электрическое поле в диэлектриках. Поляризуемость , объемная и поверхностная плотность связанных зарядов, электрическое смещение, диэлектрическая проницаемость .Теорема Гаусса, энергия электрического поля в диэлектрике.

Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. Он состоит из атомов или молекул, каждая из которые в целом электрически нейтральна. Молекулы можно рассматривать как электрические диполи с электрическим моментом, считая, что суммарный заряд +q и суммарный заряд –q находятся в разных точках.

Различаются три типа диэлектриков

1. Диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которые в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент (H₂ , O₂).

2. Диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (H₂O, CO )

3. Ионные диэлектрики (NaCl, KCl). Ионные представляют собой пространственные решетки правильным чередование ионов разных знаков.

Если диэлектрик внести во внешнее электрическое поле, в нем возникает отличный от нуля результирующий электрический момент диэлектрика т.е. происходит его поляризация.

Поляризация диэлектрика – процесс ориентации диполей или появлению под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Для количественного описания поляризации диэлектрика используется векторная величина поляризованность - которая определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика. где – дипольный момент одной молекулы.

Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрике внесем в однородное электростатическое поле (создается двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями). Под действием поля диэлектрик поляризуется, т.е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные против. В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью , на левой – отрицательного заряда с поверхностной плотностью . Эти нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Т.к. их поверхностная плотность меньше плотности свободных зарядов плоскостей, то не все поле компенсируется зарядами диэлектрика: часть линий напряженности поля пройдет сквозь диэлектрик, другая часть – обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика . Т.о. появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного поля (поля, создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика: . Поле (поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями), поэтому . Определим поверхностную плотность связанных зарядов . Полный дипольный момент пластины диэлектрика , где S – площадь грани пластины, d – ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент, равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние между ними d, т.е. . Т.о. или , т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности Р. Для большого класса диэлектриков поляризованность линейно зависит от напряженности поля : , где – диэлектрическая восприимчивость, С учетом всех полученных выражений напряженность результирующего поля равна . Напряженность поля в диэлектрике можно выразить как , . - диэлектрическая проницаемость среды, показывает во сколько раз поле внутри диэлектрика меньше поля в вакууме. Как видно из формулы, напряженность электростатического поля зависит от свойств седы: нормальная составляющая напряженности поля при переходе из вакуума в среду всегда уменьшается во столько раз, во сколько возрастает диэлектрическая проницаемость. На границе двух диэлектриков нормальные составляющие напряженности поля обратно пропорциональны диэлектрическим проницаемостям, т.е. вектор напряженности, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения, который для равен . Единица электрического смещения . Аналогично, как и поле , поле изображается с помощью линий электрического смещения. Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора – только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят прерываясь.

Теорему Гаусса для потока вектора смещения можно записать в виде

, где учитываются лишь свободные заряды. Т.о. последняя формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. Для вакуума , тогда поток вектора напряженности сквозь произвольно замкнутую поверхность равен .

Энергия. При перемещении как свободных зарядов в диэлектриках, так и самих диэлектриков, силы поля совершают работу A, которая совершается за счет убыли электрической энергии: A=-dW

пусть заряд e₂ остается неподвижным, а заряд e₁ перемещается в поле заряда e₂ из точки P₁ в точку .Если потенциал заряда e₂ в точке P₁ определяется по формуле , а значение потенциала в точке есть , тогда работа сил при этом перемещении равна: A= -e₁d₁, A=-dW= -e₁d_1, W=e₁₁=

Взаимная энергия двух зарядов запишется в симметричной форме:

Соответственно взаимая энергия системы n зарядов равна:

, где _k – потенциал поля в точке, занимаемой зарядом e_k.

Данные формулы применимы к точечным зарядам, т.е. к зарядам, размеры которых по сравнению с расстояниями, которыми они отделены друг от друга малы. Перейдем к рассмотрению объемных и поверхностных зарядов. Разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dV и dS, применяя формулу взаимной энергии системы из n зарядов, переходя к интегрированию, получим универсальную формулу для определения энергии электрического поля как в отсутствии диэлектриков, так и в присутствии диэлектриков:

, где в случае диэлектрика и плотности свободных зарядов. Влияние диэлектрика сказывается в том, что при одном и том же распределении свободных зарядов, значение потенциала в диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме.

Т.о. значение энергии в диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме.

Следовательно, энергия полного поля и объемная плотность этой энергии, при условии обращения в ноль второго интеграла, равны:

№ 17. Постоянное магнитное поле в вакууме, его вихревой характер. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био–Савара–Лапласа и теорема о циркуляции, их применение к расчёту магнитных полей. Энергия магнитного поля. Дипольный магнитный момент, поток вектора магнитной индукции.

Опыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название “магнитное поле” связывают с фактом ориентации магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые было открыто Эрстедом). Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.

Для исследования магнитного поля применим элементарный ток, циркулирующий в замкнутом контуре малых размеров. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру, связанной с направлением тока правилом правого винта. Такая нормаль называется положительной.

Если пробный контур внести в магнитное поле, на него оно окажет ориентирующее действие, устанавливая нормаль в определённом направлении. Это направление можно принять за направление поля в данной точке. При изменении положения контура возникает крутящий момент M, стремящийся повернуть контур в равновесное положение.

Вращающий момент зависит, как от свойств поля в данной точке, так и от свойств контура. Действие магнитного поля на контур с током определяется магнитным моментом контура . Однако отношение будет для всех контуров одно и тоже и принимается за количественную характеристику поля – магнитную индукцию, т.е. . – вектор магнитной индукции – силовая характеристика магнитного поля. Для описания магнитного поля вводится величина – напряжённость магнитного поля.

(для вакуума), [В]=Тл, [Н]=А/м.

Г рафически поле изображается с помощью линий магнитной индукции – линий, касательные к которым совпадают с направлением вектора . Лини магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Замкнутость силовых линий говорит о том, что магнитное поле – вихревое, т.е. не создаётся магнитными зарядами.

Магнитное поле движущегося заряда.

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Был установлен закон, определяющий поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивисткой скоростью . Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью . Этот закон выражается формулой: , где r – радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения. Согласно данному выражению, вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , причем вращение вокруг вектора в направлении образует с направлением правовинтовую систему. Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле: , где – угол между векторами и .

З акон Био–Савара–Лапласа. Пусть элемент проводника с током создаёт в некоторой точке А индукцию поля:

,

где – радиус-вектор, проведённый из элемента dl проводника в точку А.

М одуль вектора определяется выражением , где – угол между векторами и .Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной  на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром

Примеры: 1. Магнитное поле прямого тока.