1. Примеры расчета.

ПРИМЕР 1

Требуется построить эпюру продольных сил для бруса, изображенного на рис.2.3,а.

Решение.

1. При заданном расположении сосредоточенных сил брус имеет 3 грузовых участка (рис. 2.3,а). Границами грузовых участков здесь являются точки приложения сосредоточенных сил.

1

3

2

Рис.2.3

2. В пределах каждого участка рассмотрим сечение на расстоянии от начала грузового участка (рис.2.3,а), т.е. используем локальные системы координат (i– номер грузового участка).

3. Отбросим нижнюю от сечения часть, тем самым исключив необходимость вычисления реакции опоры. Действие отброшенной части заменим положительной (т.е. растягивающей) продольной силой N_i(х_i), (рис.2.3,в,г,д).

4. На каждом грузовом участке составим уравнение равновесия рассматриваемой части бруса, из которого определим продольные силы N_i(х_i).

1-й грузовой участок (рис.2.3,в):

2-й грузовой участок (рис.2.3,г):

3-й грузовой участок (рис.2.3,д):

По вычисленным значениям строим эпюру N, откладывая значения N перпендикулярно к продольной оси бруса (рис.2.3,б). Из эпюры видно, что в местах приложения сосредоточенных сил, действующих по продольной оси, имеются разрывы эпюр (скачки), равные этим силам.

ПРИМЕР 2

Требуется построить эпюру N для бруса, изображенного на рис. 2.4,а.

РЕШЕНИЕ.

1. Выделим грузовые участки стержня 1, 2, 3.

2. В пределах каждого грузового участка рассматриваем сечения на расстоянии х_i от начала участка, т.е. используем локальные системы координат.

Рис.2.4

3. В целях сокращения объема работы в данном примере не будем отбрасывать отсеченную часть, а используя приведенное в п.2.1 рабочее правило, записываем функции продольных сил N_i(х_i) на участках. При этом рассматриваем свободную от опоры часть бруса.

• Примечание: Распределенная по длине внешняя нагрузка показана на рисунке симметрично с двух сторон стержня на грузовых участках 2 и 3, причем суммарная интенсивность распределенной нагрузки равна q_n.

1-й грузовой участок. 0 x₁ 1 м.

(продольная сила на участке постоянна).

2-й грузовой участок. 0 x₂ 2 м.

При

При

3-й грузовой участок. 0 x₃ 2 м.

При

При

По вычисленным значениям строим эпюру N (рис.2.4,б).

Анализ построенных эпюр N в примерах 1 и 2 позволяет выделить следующие её особенности:

- в месте приложения сосредоточенной силы F, на эпюре N имеется разрыв (скачок), равный этой силе;

- на грузовых участках, нагруженных равномерно распределенной продольной нагрузкой, эпюра N линейна, тангенсы углов наклона прямых равны интенсивности нагрузки q_n;

- на тех грузовых участках, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра N постоянна.

Наличие указанных особенностей подтверждает выполнение дифференциалной зависимомсти между интенсивностью распределенной нагрузки и продольной силой.

ПРИМЕР 3

Требуется: для стержня, изображенного на рис. 2.5,а, построить эпюры продольных сил без учета и с учетом собственного веса бруса при А=22,2 10^-3 м²,

=25 кН/м³.

РЕШЕНИЕ

1. Разбиваем стержень на грузовые участки 1, 2, 3.

2. В этом примере эпюру N будем строить, определяя значения продольных сил в заданных сечениях, учитывая линейность N в пределах грузового участка. Для этого выберем сечения, бесконечно близкие к началу и концу каждого грузового участка (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6).

3. В указанных сечениях определим значения продольных сил, рассматривая каждый раз верхнюю часть стержня.

а) б) Эп. N (кН) в) Эп.N (кН)

(без учета собств. веса) (с учетом собств. веса)

А 100 100

40 39,44

100,56

2А

-

104 105,89

16 14,11

144 148,11

Рис. 2.5

Расчет без учета собственного веса бруса.

..

N_4–4= – F₃ + F₂ – q_n ּ1,2 = – 100 +140 – 20 1,2 = 16 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.2.5,б).

Расчет с учетом собственного веса

Cобственный вес стержней постоянного сечения учитывается как равномерно распределенная по длине каждого грузового участка нагрузка, направленная вниз. Интенсивность этой распределенной нагрузки равна весу части стержня единичной длины на данном участке.

Для 1-го участка она равна:

q_св(1)=А 1 =22,2 10^-3м² 1 25 кН/м³ 0,56 кН/м.

Для 2-го и 3-го участков, где площадь поперечного сечения равна 2А:

q_св(2,3) =2А 1 = 44,4 10^-3м² 1 25 кН/м³ 1,12 кН/м.

;

N_2-2= _;

;

N_4-4= – F₃ + F₂ – (q_n+q_св(2,3))ּ1,2–q_св(1) 1м =

= – 100 +140ּ(20+1,12)ּ1,2–0,56ּ1=14,11 кН;

По вычисленным значениям строим эпюру продольных сил N с учетом собственного веса (рис.2.5,в).