2.3. Криві на поверхні еліпсоїда

Із множини кривих, які можна провести через дану точку поверхні еліпсоїда, особливу зацікавленість представ- ляють плоскі перерізи, які утворюються від перетину поверхні еліпсоїда площиною, що проходить через нормаль до даної поверхні.

Зазначимо, що в загальному випадку плоский переріз еліпсоїда є еліпс. Якщо нормальний переріз перпендикуляр- ний площині екватора, то це меридіанний еліпс, а нор-мальний переріз у заданій точці, що проходить під азимутом 90°, є першим вертикалом цієї точки. Перерізи, утворені площинами, паралельними площині екватора, бу-дуть колами і називаються паралелями, а перерізи, утворені площинами, що проходять через центр еліпсоїда, називаються центральними перерізами.

У сфероїдній геодезії нормальні перерізи знаходять широке застосування, тому розглянемо їх детальніше.

2.3.1. Нормальні перерізи

Особливістю нормального перерізу є наявність у нього хоча б однієї геодезичної точки - точки, в якій головна нормаль кривої збігається з нормаллю до поверхні еліпсоїда. Через задану точку на поверхні можна провести скільки завгодно нормальних перерізів.

Якщо на поверхні еліпсоїда візьмемо дві точки А і В з ши- ротами В₁, та В₂ відповідно (рис.2.4), при цьому В₂ >В₁, то нормаль до поверхні еліпсоїда, проведена в точці А, перетинає малу вісь ближче до центру еліпсоїда, ніж нормаль в точці В, тобто Оп₁<Оп₂ .Ці нормалі - це дві перехресні в просторі прямі, що не перетина­ються (якщо точки А і В не лежать на одно­му меридіані).

Докажемо, що нормальні перерізи між двома точками на еліпсоїді в загальному випадку не збігаються.

Рис.2.4

Із трикутника АА'п₁ (рис.2.4) маємо

n₁A^’=N₁cos(90⁰-B₁)=N₁sinB_1,

On₁=n₁A^’-A^’O.

або

On₁=N₁sinB₁-N₁(1-e²)sinB₁=e²N₁sinB₁. (2.18)

Із трикутника BB’ n₂ (рис.2.4) маємо

n₂B’=N₂cos(90⁰-B₂)=N₂sinB₂,

On₂=n₂B’-B’O,

або

On₂=N₂sinB₂-N₂(1-e²)sinB₂=e²N₂sinB₂. (2.19)

Отже, при B₂>B₁ буде виконуватись умова (а); нормальні перерізи (криві AaB i BbA) при цьому розташуються так, як показано на рис.2.4, тобто крива BbA північніше кривої AaB.

Візьмемо площину, що включає нормаль Ап₁ і проходить через точку В. Очевидно, що ця площина є нормальною площиною в точці А, що проходить через точку В. На поверхні еліпсоїда ця площина утворює криву АаВ, яка називається прямим нормальним перерізом у точці А на точку В і обернені нормальним перерізом у точці В на точку А.

Інша площина, що включає нормаль у точці В і проходить через точку А, утворює на поверхні еліпсоїда криву ВbА - прямий нормальний переріз з точки В на точку А, що не збігається з кривою АаВ.

Ці дві криві АаВ і ВbА називаються взаємними нормальними перерізами.

Так, між двома точками еліпсоїда А і В, в загальному випадку, проходять два нормальних перерізи:

• АаВ - називається прямим нормальним перерізом для точки А і оберненим нормальним перерізом для точки В;

• ВbА - називається прямим нормальним перерізом для точки В і оберненим нормальним перерізом для точки А;

Знайдемо кут γ₁, під яким видно відрізок n₁n₂ із точки А (рис.2.4). Із прямокутного трикутника nn₁n₂, в якому n₁n₂ є гі-потенузою, знайдемо

nn₁=n₁n₂sinB_1, nn₂=n₁n₂cosB₁.

Тоді кут γ₁ можна визначити із прямокутного трикутника Апп₂:

( 2.20)

Аналогічно можна знайти і кут γ₂.

(2.21)

З формул (2.18) та (2.19) для відрізка n₁n₂ отримаємо

(2.22)

З точністю до малих величин третього порядку де запишемо

( 2.23)

Із формули (2.23) випливає, що величина А переходить у нуль двічі: при А = 0 і при А = 90 °. Іншими словами, взаємні нормальні перерізи збігаються, якщо пункти лежать на одному меридіані або на одній паралелі. Цей висновок справедливий лише з тією точністю, з якою виведена формула (2.23).

Крім кута між взаємними нормальними перерізами, розглянемо також лінійну розбіжність між ними, яка, очевидно, буде максимальною для середніх точок дуг АаВ та ВbА (рис.2.5).

Формула для обчислення найбільшої лінійної розбіжності між перерізами АаВ і ВbА буде такою:

(2.24)

Рис.2.5

Таблиця 2.2 дає уявлення про числові значення величин Δ та q.

Таблиця 2.2

	А,0	В, °	S,км	Δ"	q.мм		q,мм
	45	50	30	0,003	0,1		0,1
	45	50	100	0,031	3,7		3,7
	45	50	150	0,056	12,8		12,8

Значення Δ та q показують, що для типових довжин сторін класичних геодезичних мереж, які створювались переважно методом тріангуляції, в 20-25 км подвійним характером нормальних перерізів можна не рахуватися. При опрацюванні першокласних тріангуляцій остаточні значення азимутів виводяться із сотими долями секунди, тобто похибки окремих обчислювальних процедур при передачі азимута не повинні перевищувати ± 0,002-0,003". Тому очевидно, що при високоточній передачі азимутів, коли сторони можуть перевищувати 30 км, доводиться рахуватися із кутовою різницею між взаємними нормальними перерізами.

Уявімо собі, що в точці А встановлений кутомірний прилад так, що його вертикальна вісь збігається з нормаллю Ап_a (рис.2.6); тоді, при наведенні на точку В, площина візування збігається з площиною, що проходить через точки А,п_a,В, або, як вище було зазначено, з площиною прямого нормального перерізу із точки А на точку В. Перетином цієї площини з поверхнею еліпсоїда буде крива AaB.

При аналогічному наведенні на точку С візирна площина перетне поверхню еліпсоїда по деякій кривій АаС, яка буде прямим нормальним перерізом із точки А на точку С. Горизонтальний кут у точці А між напрямами на точки В і С буде мірою двогранного кута Вап_аС між нормальними площинами в А, що проходять через точки В і С.

Рис. 2.6

Отже, вимірювані в тріангуляції горизонтальні кути на поверхні еліпсоїда є кутами між прямими нормальними перерізами в даній точці.

Якщо взяти трикутник, у вершинах якого виміряні кути, то, внаслідок розбіжності прямих і обернених нормальних перерізів, отримана із вимірювань фігура буде мати шість сторін (рис.2.7).

Очевидно, що розбіжність прямих і обернених нормаль- них перерізів приводить до того, що на поверхні еліпсоїда виміряні горизонтальні кути не утворюють замкнутого трикутника (виміряні кути на кожному пункті показані дугою).

Щоб не мати справи з подвійним характером нормальних перерізів, геометричні фігури на поверхні еліпсоїда можна утворювати або хордами нормальних перерізів, або геодезичними лініями.

Рис. 2.7

Застосування хорд еліпсоїда, хоча і в деяких часткових випадках, приводить до виразів у замкнутій формі (замість нескінченних рядів), проте хорда не володіє таким узагальненням, як геодезична лінія для розв'язування задач сфероїдної геодезії.

Отже, подвійний характер нормальних перерізів послужив однією із головних причин для утворення фігур на поверхні еліпсоїда з геодезичних ліній.