1.3. Геодезичні і астрономічні координати. Відхилення виска. Вихідні геодезичні дати

Геодезичні й астрономічні координати - це географічні координати: широта й довгота, які показують положення будь якої точки на по­верхні земного еліпсоїда або на геоїді. Геодезичні координати знахо­дять геодезичними методами досить складним шляхом, але дуже точ­но (з похибкою 0,001-0,0001"). Астрономічні координати визначають астрономічними методами значно простіше, але грубіше

(з похибкою 0,3-0,5").

Позначимо літерою К довільну точку на земному еліпсоїді. Прове­демо в точці К нормаль до поверхні еліпсоїда і прямовисну лінію.

Геодезичною широтою точки К прийнято називати кут В між нор­маллю до поверхні еліпсоїда в даній точці і площи- ною земного еква­тора. Астрономічною широтою точки К називають кут φ, утворений прямовисною лінією в даній точці і площиною земного екватора.

Геодезичною довготою L точки К називають двогранний кут, утворений площинами початкового меридіана еліпсоїда і меридіана даної точки. Астрономічною довготою λ точки К називають двогранний кут, утворений площиною початково- го меридіана і площиною астрономічного меридіана даної точки.

Кут між прямовисною лінією і нормаллю до поверхні земного еліп­соїда в точці К називається відхиленням виска. Існують складові від­хилення виска в площині меридіана еліпсоїда ξ і в площині першого вертикала η (криві лінії - меридіан і перший вертикал перетинаються між собою під прямим кутом). Для складових відхилення виска відомі такі залежності:

≈ φ ─ В; η ≈ (λ ─ L) cos φ (1.2)

Відхилення виска на поверхні Землі у середньому близько 5''; а найбільші (в горах) відхилення не перевищують 1'.

Отже, астрономічні координати характеризуються напрям­ком прямовисної лінії в даній точці, а геодезичні - нормаллю до по­верхні земного еліпсоїда.

Зв'язок декартових координат x, у, z з криволінійними B, L, Н легко одержати, якщо застосувати відомі прийоми аналітичної гео­метрії:

x = (N + H)cos B cos L;

у = (N + Н) cos B sin L; (1.3)

z = (N - e² N + H) sin B,

де Н - висота даної точки над еліпсоїдом, яку відлічують по нормалі до еліпсоїда; N - радіус кривизни першого вертикала; е - ексцентри­ситет еліпсоїда, причому

e² = ; N = (1.4)

З початкового курсу геодезії відомо, що координати точок геоде­зичної мережі не можна визначити безпосередньо або абсолютно за ре­зультатами вимірювань. Знаючи дирекційний кут якої-небудь сторони геодезичної мережі, за даними польових вимірювань можна обчислити приріст координат Δ х і Δ у по всіх лініях мережі. Потім потрібно визна­чити координати якої-небудь точки мережі, а вже тоді легко визначити координати решти точок мережі. При обчисленні координат точок теодо­літного ходу, наприклад, завжди треба мати вихідні дані: координати якої-небудь точки і ди-рекційний кут якої-небудь лінії.

Така сама ситуація у вищій геодезії: геодезичних широт і довгот не можна визначити абсолютно.

Координати вихідної точки геодезичної мережі визначають астрономічними методами. Виявляється, астрономічну широту можна визначити абсолютно, без приросту. Астрономічні довготи визначаються як різниці довгот між початковим меридіаном і астрономічним мериді­аном даної точки. За початковий у всіх випадках приймається Гринвіцький меридіан.

Можна також абсолютно визначити астрономічний азимут напрям­ку. Зв'язок геодезичного азимуту А з астрономічним азимутом α іс­нує за умови, якщо навколо точки спостереження провести сферу довільного радіуса, показавши на ній астрономічні і геодезичні мери­діани, відповідні зеніти тощо. Тоді з сферичних трикутників можна знайти

А ≈ α – ( λ – L ) sin φ. (1.5)

Формули (1.2) для складових відхилень виска одержано саме в такий спосіб.

Отже, для вихідної точки геодезичної мережі маємо систему рівнянь:

B₀ = φ₀ - ξ₀;

L₀ = λ₀ – η₀ sec φ₀; (1.6)

A₀ = α₀ – η₀ tg φ₀;

ζ₀ = 0.

Висота геоїда ζ₀ над референц-еліпсоїдом у вихідній точці геоде­зичної мережі вважають, що дорівнює нулю. Якби було легко визначити ці відхилення виска і висоту геоїда, то встановити геодезичні координа­ти вихідної точки геодезичної мережі і геодезичного азимута напрямку було б просто. Але визначити ці відхилення дуже складно.

Величини B_0, L_0, A_0, і ζ₀ прийнято називати вихідними геодезич­ними датами. Встановлення вихідних геодезичних дат - одне із зав­дань визначення розмірів та орієнтування референц-еліпсоїда.

При первинній обробці державної астрономо-геодезичної мережі для вихідної точки спочатку взяли ξ₀ = η₀ = 0, тобто вважали, що геоде­зичні координати і геодезичний азимут вихідного напрямку такі самі, як астрономічні. За вихідну точку геодезичної мережі прийняли Пулковську астрономічну обсерваторію.

При дальшій обробці державної астрономо-геодезичної мережі скла­дові відхилення виска для точки Пулково визначали складними обчисленнями, розв'язуючи систему спеціальних рівнянь, і вже надійніше встановили B₀, L_0, A₀. Системи геодезичних координат, віднесені до різних референц-еліпсоїдів, називаються референцними системами. Система ж геоде­зичних координат, віднесена до загального земного еліпсоїда, нази­вається загальноземною системою координат. Зв'язки між цими си­стемами добре розроблено теоретично.