9.3.Параметричний метод

У попередньому розділі частково розглянуто пара-метричний метод врівноваження тріангуляції. При цьому поправки у виміряні кути виражались аналітично через поправки в необхідні кути або через елементи тріангуляції. Елементами тріангуляції, як відомо, є не тільки кути, а й сторони трикутників, дирекційні кути ліній, координати пунктів. Проте в класичному параметричному методі врівно-важення за елементи або па­раметри беруть поправки не в кути, а поправки в координати пунктів, які визначають. Цей метод врівноваження застосовують так часто, як і корелатний, але найбільше для врівноваження невільних мереж, тріан­гуляції. Розглянемо його детальніше.

Постановка задачі та її розв'язання. Нехай дано невільну тріангуляційну мережу з п' пунктів, які треба визначити; у ній виміряно N кутів або напрямків. Вимірювання незалежні, не мають систематичних по­милок, а їх випадкові помилки підлягають нормальному закону роз­поділу. Треба знайти поправки у виміряні величини, які задовольня­ли б принцип найменших квадратів.

Підготувавши необхідні дані, складають параметричні рівняння, які в матричній формі записують так:

AX + L = V,

; (9.23)

де V – матриця поправок; L – матриця вільних членів; Х – матриця поправок у координати пунктів, які визна-чаються; А – матриця коефіцієнтів; Р – матриця виміряних величин.

Розв'язуючи рівняння (9.43) методом найменших квадратів з ура­хуванням ваги знайдемо:

A^TPAX + A^TPL = 0; (9.44)

X = - (A^TPA)^-1A^TPL; V = - A(A^TPA)^-1A^TPL + L. (9.45)

Отже, розв'язувати поставлену задачу будемо за формулами (9.43), (9.44) і (9.45). Схема розв'язання така: спочатку зіставляємо параметричні рівняння (9.43), потім обчислюємо коефіцієнти нормаль­них рівнянь (9.44); розв'язавши нормальні рівняння, одержимо по­правки в координати, а потім - у виміряні кути. Оцінку точності вирівняних координат розглянемо далі.

Рівняння поправок для ку­тів. Параметричні рівняння, або рівняння поправок, як їх ї часто називають, можна скласти для кутів і для напрямків тріангуляції. Складання полягає в тому, щоб виразити поправку в кут або напрямок через поправки в координати пунктів, які визначаються. Спочатку скла­демо рівняння поправок для кутів. На рис. 9.7

Рис. 9.7. До виведення рівняння поправок

зображено три таких пункти (1. 2, 3) з трьома виміряними кутами в трикутнику (β₁, β₂, β₃); 1х - напрямок на північ. Безпосередньо з рисунка випливає така очевидна рівність:

β₁ + (β₁) =А₁₃ + (А₁₃) – А₁₂ – (А₁₂),

або

(β₁) = (А₁₃) – (А₁₂)+ (9.46)

де в дужках позначено поправки в кут β і дирекційні кути А₁₂, А₁₃;

- вільний член початкового рівняння поправок для кутів, причому

= А₁₃ – А₁₂ - β_1. (9.47)

Тепер виразимо поправки в дирекційні кути через поправки в ко­ординати. Для цього продиференціюємо відому формулу

( 9.48)

за всіма перемінними величинами

а застосувавши формули, які визначають приріст координат

( 9.49)

знайдемо залежність між поправкою в дирекційний кут і поп-равками в координати:

(9.50) (9.50) Щоб коефіцієнти при поправках у формулі (9.50) були одного по­рядку малості, на практиці поправки в дирекційні кути (А) прийнято виражати в секундах, довжини ліній s - у кілометрах, а поправки (x), (y) - у дециметрах, позначаючи їх відповідно через ξ, η Тоді фор­мула (9.50) матиме такий вигляд:

(A₁₂) = a₁₂ ξ₁ + b₁₂ η₁ – a₁₂ ξ₂ – b₁₂ η₂; (9.51)

і ми одержимо остаточне рівняння поправок для кутів

(9.52)

Рівняння поправок для напрямків. На мал. 9.7 це позна-чено: z₁ - наближений дирекційний кут початкового (нульового) напрямку, або орієнтуючий кут; M₁₂ - виміряний напрямок.

Очевидно, що вирівняний дирекційний кут напрямку 12 можна знайти двічі. Прирівнявши два значення вирівняного дирекційного кута напрямку 12, одержимо:

z₁ + (z₁) + M₁₂ + v₁₂ = A₁₂ + (A₁₂),

або

v₁₂ = - (z₁) + (A₁₂) + l₁₂; (9.53)

l₁₂ = A₁₂ – z₁ – M₁₂, (9.54)

де v₁₂, (z₁) - поправки у виміряний напрямок М₁₂ і орієнтуючий кут z₁; l₁₂ - вільний член початкового рівняння поправок для напрямків.

А за формулою (9.51) знайдемо остаточне рівняння поправок для напрямків

v₁₂ = - (z₁) + a₁₂ξ₁ + b₁₂η₁ – a₁₂ξ₂ – b₁₂η₂ + l_{12 .} (9.55)

Обчислення кута z₁ і коефіцієнтів а₁₂, b₁₂. Відомо, що вільні чле­ни умовних рівнянь характеризують якість польових вимірювань. То­му чим менший вільний член у рівнянні (9.55), тим вища якість вимі­ряних величин. Нехай l₁₂ = 0, тоді

Однак на пункті тріангуляції завжди один орієнтуючий кут, а якщо обчислювати саме так, то їх вийде багато. Природно прийняти за оптимальний орієнтуючий кут його середнє арифметичне значення

. (9.56)

У цьому разі (це легко перевірити) сума вільних членів на пункті складає нуль, що часто є контролем обчислювання вільних членів.

Коефіцієнти a₁₂, b₁₂ рівнянь поправок обчислюються різними методами.

Якщо застосовувати ЕОМ, то їх зручніше брати в такій формі:

(9.57)