9.2. Корелатний метод

У курсі математичної обробки геодезичних вимірювань детально вивчається корелатний метод вирівнювання геодезичних вимірювань. Тому тут подано лише короткий виклад.

Постановка завдання і розв'язання його. Дано вільну тріангуля­ційну мережу, в якій число всіх вимірювань становить N, число надмір­них вимірювань - s. Вимірювання незалежні, у них немає система­тичних похибок, а випадкові похибки відповідають нормальному зако­ну розподілу. Треба знайти поправки у виміряні величини, які задо­вольняють принцип найменших квадратів.

За геометричними умовами, що виникають у мережі тріангуляції (наприклад, сума кутів у плоскому трикутнику становить 180° або сума кутів при полюсі центральної системи дорівнює 360°), можна кожний надмірний вимір виразити математично через інші виміри, додавши до них поправки. Одержане рівняння між невідомими по­правками у виміри називають умовним рівнянням. Очевидно, число їх дорівнюватиме числу надмірних вимірів.

Система умовних рівнянь, що виникають у мережі у матричному запису, має такий вигляд:

AV+W=0

(9.1)

де А - прямокутна матриця коефіцієнтів розміром s x N; v - матриця-стовпець поправок; W - матриця-стовпець вільних членів, причому N>s.

Враховуючи алгоритм методу найменших квадратів, запишемо в матричному вигляді функцію Лагранжа:

(9.2)

де К - матриця-стовпець корелат (невизначених множників Лагран­жа); Т - знак транспонування матриць.

Прирівнюючи диференціал від функції Лагранжа до нуля, одер­жуємо

а вважаючи, що

м аємо умову екстремуму:

(9.3)

або після транспонування знайдемо невідомі поправки

( 9.4)

Підставивши (9.4) в (9.1), одержимо нормальне рівняння

(9.5)

і значення корелат

( 9.6)

Отже, для розв'язання поставленого завдання дано формули (9.6) і (9.4). Схема така. Спочатку складають умовні рівняння (9.1), а по­тім - нормальні (9.5), за якими знаходять корелати 9.6), а далі за фор­мулою (9.4) обчислюють шукані поправки. -обернена матри­ця. Оцінку точності вирівня-них елементів подано далі.

Види умовних рівнянь. Вважатимемо, що мережі тріангуляції реду­ковано на площину в проекції Гаусса - Крюгера.

1. Умовне рівняння фігури. У трикутнику, що має три вимі-ряні кути, один кут буде надмірним. У цьому легко переконатися, якщо побуду­вати його за необхідними виміра-ми. Надмірний кут можна виразити математично через інші два кути за відомою геометричною умовою: сума кутів у плоскому трикутнику становить 180°. В результаті одер­жимо умовне рівняння фігури.

Позначимо виміряні кути через 1, 2, 3,..., поправки до них - через (1), (2), (3),... Тоді для найпростішої фігури тріангуля-ції - трикутника - одержимо умовне рівняння фігури:

(9.7)

Для замкнутого многокутника, що має п внутрішніх кутів, умовно рівняння напишемо за аналогією:

(9.8)

2. Умовне рівняння горизонту. Якщо на пункті тріангуляції виміряно п кутів по всьому горизонту, то легко здогадатися, що один кут буде надмірним. Беручи до уваги, що сума виміряних кутів по всьому гори­зонту повинна бути 360°, неважко написати рівняння горизонту;

(9.9)

3. Полюсне умовне рівняння. Найчастіше воно виникає в геодезич­ному чотирикутнику і центральній системі. На рис. 9.1 побудовано геодезичний чотирикутник і трипроменеву центральну систему за вихідною стороною ії показано двома лініями) і необхідними кутами.

Як у першій, так і в другій фігурі немає лінії СD. Якщо виміряно всі внутрішні кути, лінія СD буде обов'язково. Вважаючи, що лінія СD надмірна, для неї можна cкласти умовне рівняння. Дійсно, і в першій, і в другій фігурі сторону СD можна визначити двічі, користуючись теоремою синусів і вихідною стороною АB. Прирівнявши одержані вирази, матимемо тригонометричне рівняння. Його називають полюс­ним рівнянням, тому що для його складання звичайно вибирають який-небудь пункт фігури за полюс (наприклад точку D у центральній системі). Написавши тотожність

і замінивши в ній відношення сторін у трикутниках на відно-шення си­нусів вирівняних кутів, одержимо рівняння

(9.10)

Рис. 9.1. До виведення полюсного рівняння

При цьому в точці С позначимо виміряні кути через 5 і 6.

Полюсів у центральній системі можна вибрати чотири: С, А, B і D; у геодезичному чотирикутнику - сім: чотири вершини, перетин діаго­налей і перетин сторін АС і ВD та АВ і СD. Виходить, у трипроменевій центральній системі можна скласти чотири різних полюсних рівняння, а в геодезичному чотирикутнику - сім. З них вибирають одне - найкоротше і так, щоб порядок коефіцієнтів у ньому був при­близно однаковим.

Рівняння (9.10) завжди приводять до лінійного виду. Користуючись відомою формулою

( 9.11)

після нескладних перетворень запишемо рівняння (9.10) у лінійному

(9.12)

Рівняння (9.12) зручне, якщо при обчисленні користу-ватися лога­рифмічними таблицями. При застосуванні ЕОМ його треба перетвори­ти. Для цього його ділять на М - модуль десятичних логарифмів. Знаючи, що

одержимо

(9.13)

4. Умовні рівняння суми кутів і сторін. У невеликій мережі тріангуляції (рис. 9.2) є чотири надмірні кути, які утворюють стільки ж умовних рів­нянь. Два з них - умовні рівняння фігур, інші два можна вибрати по-різному. Наприклад, взяти дві координатні умови або одну координат­ну і одну дирекційних кутів, або рівняння базисів і координатне і т. д. У практиці вирівнювання тріангуляції у подібній ситуації прийнято з усієї сукупності рівнянь вибирати найпростіші і так, щоб вони були незалежними. У даному випадку треба взяти умовне рівняння дирек­ційних кутів і базисів. Вони мають такий вигляд (безпосередньо з ри­сунка):

А₂=А₁+5+(5)+6+(6);

або в зручнішій формі

(5)+(6)+W_A=0, (9.14)

W_A=A₁+5+6-A₂;

(9.15)

(9.15')

Рівняння (9.14) і (9.15) називають відповідно умовним рівнянням суми кутів (судячи з його вигляду) і рівнянням сторін (на відміну від базисного), хоч принципово вони не відрізняються від названих.

Отже, якщо в невільній мережі тріангуляції є пункти з відомими координатами, що прилягають один до одного (або розташовані поруч), то в ній слід складати, крім тривіальних рівнянь, рівняння сум кутів і сторін. Наприклад, у централь-ній системі на рис. 9.3 тривіаль­ними будуть: шість рівнянь фігур, одне - горизонту і одне - полюсне. (крім того, треба взяти чотири рівняння суми кутів і чотири - сторін.

Такі найбільш поширені умовні рівняння в тріангуляції. На практиці іноді зустрічаються мережі тріангуляції, в яких виникають незвичайні умовні рівняння (не схожі на жодне з відомих). Щоб скласти рівняння в такому випадку, надмірний кут шляхом здогадок і спроб виражають через інші кути мережі.

При врівноваженні тріангуляції по напрямках умовні рівняння складають аналогічно, знаючи, що кожний кут - це різниця двох напрямків. У цьому випадку сума коефіцієнтів при поправках в напрямки у будь-якому умовному рівнянні дорівнює нулю, в чому неважко переконатися. Умовне

Рис.9.2. Вставка пункту Рис.9.3. Центральна система

Рис.9.4. До виведення умовних рівнянь для виміряних напрямків

рівняння горизонту не ви­никає (воно перетворюється на тотож­ність), тому що при будь-яких значеннях напрямків сума кутів, обчислених як різниці відповідних напрямків по всьо­му горизонту, завжди буде 360°. Напишемо умовні рівняння для виміряних напрямків у геодезичному чотири-кутнику (рис. 9.4):

-(2)+(3)-(4)+(6)-(7)+(8)+W₁=0;

-(1)+(2)-(8)+(9)-(10)+(12)+W₂=0;

-(1)+(3)-(4)+(5)-(11)+(12)+W₃=0;

де 1, 2,..., 12 - виміряні напрямки; (1), (2),.... (12) - поправки в напрямки; р - число секунд у радіані; - котангенси відповідних кутів між напрямками.

Підрахунок числа умовних рівнянь. Приклади. Нехай п – число пунктів у вільній мережі тріангуляції, а N - число виміряних кутів. Цих даних достатньо, щоб визначити загаль-не число умовних рівнянь S . Дійсно, прийнявши в якому-небудь трикутнику мережі 2 пункти за ви­хідні, решту (п-2) пунктів можна визначити прямою засічкою, в якій, як відомо, вимірюються 2 кути. Отже, кількість необхідних кутів для побудови мережі повинна бути 2(п - 2), а надмірних кутів при цьому буде

S = N – 2n + 4. (9.16)

Щоб підрахувати полюсні рівняння, позначимо кількість суцільних і несуцільних ліній (з дво- і односторонніми спостереженнями) у мережі тріангуляції через р. Знаючи, що полюсні умовні рівняння виникають у зв'язку з наявністю „умовних" ліній у мережі, підрахуємо число необ­хідних і „умовних" ліній. Очевидно, що перші 3 пункти визначаються трьома лініями. Решту (п-3) пунктів можна визначити прямою лінійною засічкою, вимірявши 2(п - 3) лінії. Таким чином, число необхідних ліній для побудови мережі становитиме 3+2(п - 3). Надмірні лінії ут­ворюють полюсні рівняння, число яких становить

r = р - 2п + 3. (9.17)

За формулами (9.16) і (9.17) підраховують загальне число умовних рівнянь у вільних тріангуляційних мережах і число полюсних рівнянь. У невільних мережах тріангуляції загальне число умовних рівнянь ви­значається за формулою, яку легко вивести:

S'= N – 2n' (9.18)

де n'- число пунктів, які визначаються (пункти з відомими координа­тами при цьому не беруть до уваги).

Число умовних рівнянь фігур, горизонту, координатних тощо прос­тіше визначити безпосередньо зі схеми тріангуля-ційної мережі, а не за формулами. Наведемо приклади підрахунку умовних рівнянь у віль­них і невільних мережах тріангуляції.

На рис. 9.5 зображено п'ять вільних мереж тріангуляції. За формула­ми (9.16) і (9.17) легко встановити, що в мережі І виникає одне рівняння фігури і одне полюсне; у мережі II - тільки одне полюсне; у мережі III -шість рівнянь фігур, одне полюсне в геодезичному чотирикутнику і од­не незвичайне рівняння. Прийнявши лінію bс і дирекційний кут А_ab = 0 за вихідні дані, можна обчислити приріст Δy по контуру верхньої тра­пеції. Сума таких приростів по контуру трапеції, очевидно, повинна дорівнювати нулю. Це й буде незвичайне умовне рівняння. У IV випливає чотири рівняння фігур і одне полюсне, у мережі V - п'ять рівнянь фігур і одне незвичайне, яке складається точно так, як і в мережі III. За вихідні дані належить прийняти сторону bc і дирекційний кут А_аb = 0.

На рис. 9.6 зображено три невільні мережі тріангуляції. Трикутниками позначено пункти з відомими координатами, кружечками - ті пункти, які треба визначати. У кожному з пронумерованих трикутників вимірюють усі три кути. У ме-режі III вимірюють ще кут . За формулою (9.18) неважко підрахувати загальне число умовних рівнянь, а безпосередньо із мережі встановлюємо, що в мережі І виникає вісім рівнянь фігур, два - суми кутів, два - сторін і чотири полігонних рівняння. У мережі ІІ буде п'ять рівнянь фігур, одне - горизонту, одне - полюсне, по два - суми кутів і сторін. Якщо в цій мережі виміряти ще кут (мережа III), то виходить незвичайне умовне рівняння. (Подумайте, як його скласти.)

Рис.9.5. Вільні мережі тріангуляції різної форми

Рис.9.6. Невільні мережі тріангуляції

Про допустимість вільних членів. Перед тим як вирівнювати тріангуляцію, для контролю якості польових вимірювань оцінюють допустимість вільних членів умовних рівнянь. Одержимо необхідні формули. Для цього напишемо кілька вільних членів, наприклад:

(9.19)

Вільні члени, як видно з формул (9.19), виступають деякими функ­ціями вимірюваних кутів і вихідних даних. Покажемо, що вільні члени мають порядок похибок вимірювання кутів і похибок вихідних даних. Нехай

де величини зі штрихами означають вирівняні значення для кутів або точні значення для вихідних даних. У дужках позначено поправки у виміряні кути або істинні помилки вихідних даних. Тоді з формул (9.19) одержуємо:

При цьому ми скористалися розкладанням у ряди:

Поправки у виміряні кути, як відомо, мають порядок похибок вимірювань, тому й вільні члени будуть того самого порядку малості. Замінивши поправки у виміряні кути і у вихідні дані середніми квадратичними похибками, знайдемо:

Отже, у загальному випадку вільний член будь-якого умовного рівняння можна оцінити за формулою

(9.20)

де l - вимірювані величини, які входять до функції вільного члена; L - вихідні дані; m_l, m_L - середні квадратичні похибки виміряних величин і вихідних даних. Допустиме значення вільного члена визначають із статистичних міркувань. Так, на практиці вважають, що W _доп <2,5W.

Оцінка точності врівноважених елементів. Врівноваження тріангуляції закінчується оцінкою точності. Причому оцінюється який-не-будь вирівняний елемент мережі, наприклад довжина сторони трикут­ника, дирекційний кут, координати віддаленого (від вихідного) пункту тощо. Виведемо формулу для оцінки точності довільної функції F ви­рівняної тріангуляції. Нехай L₁, L₀ і l - істинне, вирівняне і виміря­не значення кута, або напрямок тріангуляції. Тоді L-1 = Δ – істинна похибка, L₀ – l = v - поправка, одержана в результаті врівно­важення. Очевидно, що істинну похибку вирівняної функції визначають так:

або в матричному запису:

Δ_{F = f}^T (Δ - V); (9.21)

Виразимо поправки V через істинні поправки. У корелат-ному методі поправки і корелати визначають за формулами:

V = A^Tk; k = - (AA^T)^-1W; V = - A^T(AA^T)^-1W.

Тепер вільні члени W виразимо через Δ. Для цього в точні умовні рівняння підставимо вираз L = l + Δ. Розклавши умов-ні рівняння в ряди, одержимо АΔ + W = 0. Отже,

W = - AΔ; V = A^T(AA^T)^-1AΔ;

Δ_F = f^T{E – A^T(AA^T)^-1A}Δ, (9.21')

де E - одинична матриця.

Оскільки

то з формули (9.21) одержимо:

f ^t{e – a^T(AA^T)^-1A}{E – A^T(AA^T)^-1A}_f = f^T{E-2A^T(AA^T)^-1A+

+A^T(AA^T)^-1AA^T(AA^T)^-1A}_f = f^T{E – A^T(AA^T)^-1A}_f;

f^T{E – A^T(AA^T)^-1A}_f. (9.22)

Формула (9.22) остаточна, за якою можна обчислити обернену вагу довільної врівноваженої функції. Вона відповідає відомій формулі

На закінчення запишемо вагові функцій для кута, сторони, дирекційного кута і координат:

З вагової функції легко знайти коефіцієнти f_1, f₂, f₃,..., а потім за формулою (9.22) обчислити вагу функції вирівняної тріангуляції.