1.2. Поняття про загальний еліпсоїд, референц-еліпсоїд, геоїд і квазігеоїд

Якщо площа території, на якій створюється геодезична мережа, неве­лика (наприклад, не більш як 20 х 20 км² на рівнинній території), координати точок мережі геодезичними методами визначити нескладно. Можна поверхню цієї території прийняти за площину і, виконавши де­які геодезичні вимірювання на ній, після відповідної обробки одержати плоскі координати всіх точок геодезичної мережі. У цьому разі поправки за кривизну Землі, які вводять у виміряні кути і лінії, дуже незначні. В усіх інших випадках при побудові геодезичних мереж на земній по­верхні велике значення має фігура Землі.

Під фігурою Землі розуміють геометричну форму її зовнішньої по­верхні. Вважають, що Піфагор (бл. 580-500 рр. до н. е.) перший прий­шов до думки про кулястість Землі. Першим визначив радіус земної кулі Ератосфен у III ст. до н.е. Тоді вважали, що Земля має форму точ­ної кулі. За сучасними визначеннями, радіус земної кулі 6371,116 км.

Земну сферу вважають першим наближенням до фігури Землі. Відстань по вертикалі між земною сферою і поверхнею Світового оке­ану не перебільшує 21 км.

Уявлення про Землю як про точну кулю проіснувало 20 століть. У 1687 р. І. Ньютон звернув увагу на еліпсоїдність поверхні Землі. Після Ньютона до першої половини XIX ст. Землю вважали еліпсоїдом обертання. Перше порівняно впевнене визначення розмірів земного еліпсоїда виконав Деламбр у Франції в 1800 р. За сучасними визна­ченнями, велика піввісь і стиснення земного еліпсоїда обертання такі: a = 6378,14 км; α = 298,257.

Земний еліпсоїд обертання вважають другим наближенням до фі­гури Землі. Відстані по вертикалі між поверхнями земного еліпсоїда і Світового океану не перевищують 150 м.

У першій половині XIX ст. К. Гаусс, потім Ф. Бессель під фігурою Землі розуміли рівневу поверхню потенціалу сили ваги, яка скрізь перпендикулярно перетинає напрямок виска і більша частина якої становить поверхню Світового океану. Так було введено поняття про геоїд – найбільш істинну фігуру Землі. Геоїд - дуже складна математична поверхня, яка не має простого рівняння. Через таку складність розв'язання прямих і обернених геодезичних задач на поверхні геоїда не одержано. Тому у вищій геодезії для обробки геодезичних мереж (визначення координат точок ) застосовують не геоїд, а земний еліпсоїд обертання (рис .1.1). Рівняння його досить просте

B - широта

L- довгота

Рис. 1.1. Земний еліпсоїд

(1.1)

де а - велика (екваторіальна) піввісь еліпсоїда; b - мала (полярна) піввісь; x, y, z - плоскі прямокутні координати точок еліпсоїда (поча­ток координат знаходиться в його центрі).

Залежно від того як зорієнтований еліпсоїд у тілі Землі і за якою умовою визначають його розміри, розрізняють загальний земний еліп­соїд і референц-еліпсоїд. Наприклад, центр загального еліпсоїда пови­нен збігатися з центром мас Землі, а полярна вісь повинна бути сумі­щена з віссю добового обертання Землі. Розміри та інші параметри такого еліпсоїда знаходять за умови, коли він найбільше відповідає фігурі геоїда в межах поверхні всієї Землі в цілому. Система коорди­нат, віднесена до загального земного еліпсоїда, - єдина для всієї поверхні Землі. Наведені раніше розміри земного еліпсоїда характе­ризують сучасний загальний земний еліпсоїд.

Орієнтування референц-еліпсоїда інше: його центр не збігається з центром мас Землі, а полярна вісь паралельна осі обертання Землі. Розміри його та інші параметри знаходять за умови найбільшої відпо­відності фігурі геоїда у межах території однієї держави або групи дер­жав. Система координат, віднесена до референц-еліпсоїда, - єдина для обмеженої території.

Для обробки геодезичних мереж у 1942 р. введено референц-еліп­соїд (його названо ім'ям видатного геодезиста Ф. М. Красовського), велика піввісь якого а - 6378245 м, а стиснення - α = 1:298,3.

При побудові геодезичних мереж кути і лінії вимірюють на поверхні Землі. Геодезичні координати визначають на простішій поверхні - референц-еліпсоїді. Для цього у виміряні лінії й кути вводять деякі поправки (редукції), після чого геодезична мережа вважається віднесеною (зредукованою) до поверхні референц-еліпсоїда. Висоти точок геоде­зичної мережі відомі з нівелювання над деяким рівнем моря (або гео­їдом). Для редукування геодезичної мережі на поверхню еліпсоїда, крім нівелірних висот, треба знати положення поверхні геоїда щодо еліп­соїда (або висоти геоїда). До 1945 р. геодезичні мережі оброблялись без введення поправок у кути і лінії за висоту геоїда, тому що ці висоти дуже важко визначати.

У 1945 р. М.С. Молоденський довів, що положення геоїда щодо земного еліпсоїда не можна визначити, не знаючи внутрішнього гравітаційного поля Землі. Замість геоїда М.С.Молоденський ввів іншу, близьку до геоїда, поверхню - квазігеоїд. Його поверхня повністю визначається за зовнішнім гравітаційним полем Землі. Квазігеоїд збігається з геоїдом на морях і океанах і близький до нього на материках. Крім того, М.С.Молоденський вніс ясність в обробку нівелювань, після чого нівелірні висоти почали відлічувати не від геоїда, а від по­верхні квазігеоїда. Завдяки дослідженням М.С.Молоденського вне­сено необхідну чіткість в обробку геодезичних мереж: тепер у виміряні на поверхні Землі лінії й кути вводять поправки за висоту квазігеоїда.

Щоб знайти поверхню квазігеоїда, відкладемо нівелірні висоти, одержані з точної обробки результатів геометричного нівелювання, від топографічної поверхні Землі вниз по нормалях до земного еліп­соїда. Висоти квазігеоїда відносно еліпсоїда визначають за формула­ми М.С.Молоденського.