3. Найвигідніша форма трикутника в тріангуляції

Під найвигіднішою формою трикутника тріангуляції розуміють таку її форму, при якій середні квадратичні помилки сполучних і проміжних сторін, знайдених через вихідну сторону, однакові і найменші. Напри­клад, для першого трикутника ряду тріангуляції повинно бути:

( 5.11)

де

(5.12)

У цьому випадку сторони наступних класів тріангуляції, як легко переконатися, визначаються щонайкраще.

Порівнявши між собою формули (5.4) і (5.12), бачимо, що рівність (5.11) можлива, якщо α₁=γ₁ , тобто трикутник повинен бути рівнобедреним. Щоб знайти екстремальне значення відносної похибки сторони, необхідно дослідити функцію

Q=ctg²α+ctg²β+ctgα ctgβ

на максимум і мінімум. У рівнобедреному трикутнику 2α+β=180°, тому функція Q=сtg²α+сtg²2α-ctgαctg2α. Далі виконаємо такі очевидні перетворення:

. (5.13)

Рівність (5.13) виконується тільки при , тобто 52°46'16^″ Якраз при такому функція Q має найменше значення, що становить ; у рівносторонньому трикутнику Q = 1, в чому неважко переконатися.

Такий трикутник можна застосовувати на практиці у тому випад­ку, коли потрібно передати довжину сторони від вихідної лише один раз. У суцільних мережах тріангуляції таких трикутників не застосову­ють, тому що тут при побудові ряду тріангуляції площа трикутників, як легко встановити, стає меншою. І для покриття тієї самої площі зйом­ки пунктами тріангуляції треба буде набагато більше пунктів, ніж як­би трикутники були рівносторонніми. У рівно- сторонньому трикут­нику площа найбільша, а помилка геометричного зв'язку дуже мало відрізняється від аналогічної помилки найвигіднішого трикутника. То­му, проектуючи тріангуляцію, намагаються вибрати трикутники в мережі якомога ближчими за формою до рівносторонніх.

4. Поздовжнє і поперечне зміщення ряду тріангуляції

Суму проміжних сторін ряду тріангуляції з трикутників прийнято називати діагоналлю ряду. Є нижня і верхня діа- гоналі ряду:

L=c₁+c₃+c₅+...+c_n;

L′=c₂+c₄+c₆+...+c_n.

При вимірюванні кутів 1,2,3... виникають похибки, тому й при ви­значенні через вихідну сторону, а довжини сторін трикутників також утворюються похибки. Значить, діагональ теж буде з похибкою. Вна­слідок цього кінець діагоналі зміститься. Складова загальної похибки діагоналі вздовж ряду називається поздовжнім зміщенням ряду трі­ангуляції (рис.5.2), а складова в перпендикулярному напрямі - попе­речним зміщенням ряду.

Поздовжнє зміщення ряду тріангуляції. Знайдемо поздовжнє змі­щення ряду тріангуляції з трикутників, вважаючи, що ряд врівноважений за умови фігур. Застосовуючи теорему синусів, неважко написа­ти формулу, яка визначає нижню діагональ ряду.

У зв'язку з тим, що окремі похідні від її по виміряних кутах, являють собою коефіцієнти вагової функції, легко знайти f₁, f₂, f₃,.... Спочат­ку одержимо f₁, а потім аналогічно обчислимо решту коефіцієнтів. Маємо

Далі виконуємо такі перетворення:

Рис. 5.2. Поздовжнє зміщення ряду

Вважаючи, що всі трикутники ряду рівносторонні, тобто c₁=c₃=c₅=…=a, де п - число сторін у нижній діагоналі, остаточно одержимо:

Також одержимо:

Тепер складемо таблицю коефіцієнтів умовних рівнянь і вагової функції (табл. 5.2), за якою знайдемо алгоритми Гаусса у формулі (5.2). Насамперед відзначимо такі закономірності у зміні коефіцієнтів f:

1) f₃=f₉=f₁₅=…=a/

2) f₆=f₁₂=f₁₈=…=0;

3)для першої трапеції, поміченої на рисунку пунктиром, маємо

f₁=-f₄=f₅=-f₈=(n-1)a/

4) для другої трапеції

f₇=-f₁₀=f₁₁=-f₁₄=(n-2)a/

5. для третьої трапеції

f₁₃=-f₁₆=f₁₇=-f₂₀=(n-3)a/

Отже, можемо одержати:

У зв’язку з тим, що

то, виконуючи прості обчислення, за формулою (5.1) з ура-хуванням похибки вихідної сторони одержуємо формулу, яка визначає поздовж­нє зміщення m_L тріангуляційного ряду:

(5.14)

Таблиця 5.2.

Коефіцієнти умовних рівнянь a, b, c,…f

v	a	b	c	…	f
(1)	1
(2)	1
(3)	1
(4)		1
(5)		1
v	a	b	c	…	f
(6)		1			0
(7) (8)			1		{п-^о-1'її
(8) (8)			1		{п-^о-1'її
(9)			1

Рис. 5.3. Поперечне зміщення ряду

Якщо ж брати до уваги верхню діагональ L' тріангуля-ційного ряду і шукати поздовжні зміщення, то, діючи анало-гічно, одержуємо:

( 5.15)

Поперечне зміщення ряду тріангуляції. Зробимо таке спрощення. Вважатимемо, що вимірюються кути з похибкою μ; проміжні сторони с₁ = с₂ = с₃ = =...с_п = а. Ніякого врівноваження ря­ду немає. Поперечне зміщення нижньої діагоналі L відбувається тіль­ки за рахунок похибок вимірювання кутів (рис. 5.3). Очевидно, що че­рез похибку кута кінець діагоналі L зміститься в перпенди-куляр­ному напрямку на величину

через похибку кутів кінець діагоналі L змістить- ся в попе­речному напрямку відповідно:

Ці зміщення, зрозуміло, випадкові. Отже, загальне поперечне змі­щення діагоналі ряду буде

Враховуючи похибку вихідного дирекційного кута m_A і те, що ап=L, одержуємо остаточну формулу, за якою визначають відносне по­перечне зміщення тріангуляційного ряду:

(5.16)