Б) за теоремою Лежандра

Теорема Лежандра для малих сферичних трикутників: якщо сторони плоского та сферичного трикутників відповідно однакові між собою, то кути плоского трикутника дорівнюютьі кутам сферичного трикутника, зменшеними на одну третину сферичного надлишку.

Нехай ΔАВС - сферичний, а ΔА'В'С' - плоский трикутник, сторони якого дорівнюють відповідним сторонам сферичного трикутника (рис. 3.3). Такий трикутник носить назву лежандровий трикутник.

Рис.3.3

Згідно з теоремою Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде

,

(3.7)

Сферичний надлишок можна обчислити, наприклад, за формулами (3.4).

Отже, якщо у сферичному трикутнику АВС відома вихідна сторона, наприклад с і сферичні кути А,В,С (див. рис.3.3), то за першою формулою (3.4) обчислюємо сферичний надлишок трикутника і знаходимо плоскі кути А',В',С'. Потім розв'язуємо трикутник за стороною с та знайденими плоскими кутами, застосовуючи формули плоскої тригонометрії (теорему синусів), тобто

(3.8)

Точність розв'язування сферичних трикутників, які можна розв'язувати за теоремою Лежандра, залежить не тільки від розмірів сторін, але і від форми трикутника. Аналізом формул установлено, що допустимі розміри сторін трикутника знаходяться в межах від 75 до 150 км.

В) за способом аддитаментів

У попередньому способі для застосування формул плоскої тригонометрії вводилися поправки за сферичність у кути.

Можливий і спосіб використання сферичних кутів, але з уведенням поправок у сторони трикутника.

Розглянемо даний спосіб.

Зі сферичного трикутника АВС (рис.3.3) за теоремою синусів маємо

( 3.9)

де с- відома сторона, b - шукана сторона даного сферичного трикутника.

Оскільки сторони сферичного трикутника малі в по-рівнянні з радіусом сфери R, то їх тригонометричні функції розкладемо в ряд, обмежуючись членами третього порядку:

Позначивши

і , крім того,

напишемо

Aбо остаточно

( 3.10)

і аналогічно, для другої сторони

(3.11)

З цих формул видно, що головні члени являють собою розв'язування сферичного трикутника як плоского, причому кути в них сферичні. Поправочні члени називають аддитаментами. Тому і розв'язування сферичного трикутника за формулами (3.10), (3.11) називають способом аддитаментів. Класично аддитаментами називалися малі поправки до логарифму головного члена, коли формули виводились із застосуванням логарифмів. Хоча логарифмічні методи втратили своє значення і на практиці не застосовуються, проте в назвах окремих способів, і в тому числі при розв'язуванні сферичних трикутників, збереглися первісні терміни.

Отже, якщо від вихідної сторони відняти її аддитамент і розв'язати трикутник зі сферичними кутами за формулами плоскої тригонометрії, то, додавши до знайдених довжин сторін їхні аддитаменти, отримаємо довжини сторін сферичного трикутника.

Точність розв'язування малих сферичних трикутників способом аддитаментів аналогічна до розв'язування їх за теоремою Лежандра.