Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вища геодезія книга.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
7.39 Mб
Скачать

Сферичний надлишок

Зі сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок сферичного трикутника АВС (рис.3.2) дорівнює площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, R=1. При сферичний надлишок визначається формулою

( 3.1)

Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:

Рис.3.2

У малих сфероїдних трикутниках s«R і P«R, тому тригонометричні функції малих аргументів можна розкласти в ряди зі збереженням тільки перших членів розкладів:

В результаті отримаємо такі формули: В результаті отримаємо такі формули:

(3.2)

(3.2)

Для типових довжин сторін тріангуляції формули (3.2) можна використовувати без членів у дужках

( 3.3)

У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок був функцією лише однієї сторони

( 3.4)

У першокласних геодезичних мережах сферичний над-лишок обчислюється з точністю до 0.001".

Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також довжини сторін. З’ясуємо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше 0.001".

Для рівностороннього трикутника на основі формул (З.4) можемо записати

Продиференціювавши дану формулу за змінними s та β, отримаємо

Прийнявши, що = 0.0005" та = 60°, знайдемо допустимі похибки сторін ds і кутів для різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 3.1). В табл. 3.1 наведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

Одним із основних застосувань сферичного надлишку є виявлення нев'язки у трикутнику тріангуляції

( 3.5)

Таблиця 3.1

s, км

ds, м

30

50

100

4

2

1

90

30

10

2

5

20

Способи розв'язування малих сфероїдних трикутників а )за формулами сферичної тригонометрії

Розв'язування малих сфероїдних трикутників, як було вже зазначено, зводиться до розв'язування сферичних трикутників за формулами сферичної тригонометрії. Так, для трикутника АВС (рис. 3.2), при заданій стороні а та кутах А, В, С , на основі формули синусів запишемо:

(3.6)

де радіус сфери R визначається як функція середньої широти В, на якій розташований трикутник, за відомими формулами

Недоліком даного способу є те, що сторони трикутника виражаються в частинах радіуса, крім того, тригонометричні функції малих кутів треба знати з досить високою точністю (10-12 розрядів).

У геодезичних мережах довжини сторін трикутників, як правило, значно менші радіуса сфери. Враховуючи цей факт, формули (3.6) можна замінити іншими, більш простими в практичному плані.