8. Процесс р, г и иммиграции

Пр-с Р, Г и И предпо-ет, что кроме соб-я рождения размер п-ии м ув-ся за счет миграции особей из вне. – р-р по-ии в м вр ; Постулаты: 1) ; 2) ; 3) ; 4) P{всех ост-х} = ; ; б ∢ ; = ; = + ; , (9); ] = ; Переходя к пределу: (9’); Введем произв-ую ф-ю . Умножим все ур-я с-мы (9)-(9’) на и сложим. ; (10); М показать, что , где – произв-ая ф-ия пр-са Р и Г (из пред §); ] , тогда , тогда решение (10) имеет след вид: = ; = используя полученную ПФ, м найти мат ож: ; = ; ур-е, кот нами за-но для ∢-ых выше проц-ов – не явл-ся ур-м Колмогорова ( , а не ); Нужно во первых определить инфин-ую матрицу ; ; В с-ии 0 может произойти соб-ие рождения, тогда инф-ая м-ца - 3-х диагональная матрица неог ра-ра. Прямое: ; Обратное: ; Прямое чаще используется, т.к. можно получить стац-е вер-ти: ;

13. Невозвратные состояния. Состояние наз-ся невозвр, если  . . В этом случае Ek и Ej одному замкнутому мн-ву. ] - невозвр., а – эргод, тогда - среднее время возвр в K, – вер-ть возвр-я в сост K за произв число шагов. ] нек неприводимой цепи и . Если , тогда и – стартует из Ej и попадает в замкн мн C, для нулевых с-ий . ] T – мн-во невозвр с-ий. ] нек , тогда обозначим , (1) – вероятность поглощения в C. (2); (3); из (1) ↝ (4). Заметим, что ур-е (4) явл-ся конструктивным, т.к определяется по ф-ле (2) с помощью матрицы переходов и но ур-е (4) опр-ет все вер-ть поглощения . Размерность с-м ур-я (4) совпадает с кол-ом невозвратных с-ий цепи. ] - вер-ть того, что стартуем с с-я j, система к шагу n все еще нахожится в мн-ве невозвр-х с-ий. , (5). Из (5) ↝ ; Посл-ть явл-ся монотонно убывающей и ограниченной снизу. ↝ (6) – вер-ть того, что с-ма навсегда застрянет в мн-ве невозвр с-ий, она мб либо = 0, либо > 0. З-ча получить способ оценки . Используя (5) и (6) мы м записать след ур-е ; (7). ] (7) имеет огр-е решение, т.е. нек , (8), тогда ↝ n , поэтому j  (8) не имеет огр решения 0. Если ур-е (4) имеет различные решения, то их разность удовл-ет (1). Т.о. нами доказана след теор: Теор1: вер-ти – решение (4) и это реш !-ное, кроме случаем когда . (система стартуя из Ej остается в мн-ве невозвр с-ий T навсегда РИС) ↝ пред вер-ти – решение (7). Следствие: В конечной МЦ – !-ое решение (4); Пример: случайное блуждание с поглощающим экраном |0___i-1__q__i__p__i+1___a|. На концах отрезка нах-ся погл экраны, т.е. когда частица дост, одной из гран т-к, она погл-ся экраном и бл-ие прекр-ся. , . Все ост с-я – невозвратные и мы м ввести 0 < j < a; - вер-ть что с-ем из j и б поглощены в . ↝ , j > 1; ; j = 2, …, a – 2, Эти с-мы ∢-сь ранее в з-че о разорении игрока, где была решена ∎ Теор 2: ] , – сост-я неприв МЦ. Д/того чтобы все сост были невозр-ми  , i = 1, 2, … (9) – имела ненулевое огр-е решение. Док-во: ∢ (5), (6); ] T = . T дополнение к . К такой МЦ применимо док-во теор 1, и вер-ти попасть в T и никогда не попасть в E0 определяютcя пределом (6) и удовл. (7), и их велл-ны опр-ся усл-ем теоремы, откуда получаем ур-е (9). Пример: 1) Неогр сл блуждание ___i-1__i(q,p)___i+1___ p +q =1; . Из (9) ↝ , ↝ все с-я -- невозвратные. Б) ] p = q ↝ неогр-ое ↝ всесост возвр-е нулевые. Такое бл-е называется однородным, т.к. p, q независят от коорд-ты частицы. 2) Неоднородное бл-е. ; отр. экран q0|0__p0__i-1___i(qi,pi)__-i+1; Задача: Выяснить, является ли состояния этой Ц нев-ми. , , ; Д выяснить -ли вер-ть находясь во мн-ве T остаться в нем навсегда и никогда не попастьв E0; из (9) ↝ i=1, 2, 3, …;; = . Сложив такие вер-ти от индекса 1 до I, получим суммы, определяющие решение с-мы. Пр-р: . ] (сх), тогда у системы -ет огр решение и сост явл-ся невозвратными, т.е. частица б дрейфовать к . Если , то с-я явл-ся возвр-ми и вер-ть покинуть T и п-ть в E0 равна 1;

15. Просто случайное блуждание - одна из кл-их з-ч ТВ. Формулировка: ] нек частица меняет свое положение на мн-ве целых чисел. Если на нек шаге процесса частица попадает в координату X, то на след шаге м. перейти в след X+1 c P = P, как в X-1 с 1=1-P. Другие переходы в этом пр-ве невозможны. x-1__(1-p)___x__(p)__x+1 x Z. Посл коорд-т частицы образует МЦ, кот явл-ся неприводимой и периодической с периодом d = 2. вер-ти возвращения в это цепи за 2n шагов: ; ] , введем (если ). Заметим . = < (если k < 1). Cоотв-но все сост МЦ - невозвратные, т.е. частица будет дрейфовать в сторону или . Теперь ] , тогда ↝ рсх; при этом сост явл-ся возвр ненулевыми.

17. Разрывные МП-сы. -ют пр-сы, события, кот-х происходят в произв м-ты времени. Разрывный МП предп-ет, что мн-во его с-ий конечно или счетно, однако интервалы вр. м/у двумя посл-ми событиями определены вещ-ми вел-ми. А) Наблюдатель, который регистрирует проиезжающие авт-ли и подсчитывает ил кол-во. – кол-во авт-ей, зар-х в м вр t, тогда N(t) - разрывный МП. Б) Звонки. Поступающие на тел станцию. Вызовы пост-ют в произв. м-ты вр, кол-во этих вызовов явл-сясчестным. Число в-в, поступивгих в м вр t – тоже м обр-ть разрыв. МП. Общий случай В) |---x---x—x—x t; На вер-ой оси пр-ят события, такая констр-ия назся сл потоком. Также при нек усл-х м.б. МП. М ув-ся, уменьшаться, не только на 1, но и не произв. Так пр-с д обладать марк-м св-ом, т.е. = . Распределение Пуассона. |---x---x—x—x. ∢ Посл-ть сл событий, происх в сл м-ты вр б наз-ть случайным потоком. Б считать что поток обл след св-ми: 1) Стационарный – хар-ие поток вел-ны распр-ия не изменяются с течением времени; 2) Ординарный. – вер-ть 2х событий за имеет порядок ; 3) Не зависит от прошлого (отс-ие памяти) – вер-ть наступления очередного события потока не зависит от событий, которые произошли в прошлом. Поток обладающий всеми 3мя св-ми наз-ся простейшим или пуассоновским. = { n за время t }. – за время t в п-ке не было событий. – в потоке пр-ли какие-то события за вр t; ] Постулаты ПП: 1) (0; t); n;; ] на (0;t) произошло n-событий, тогда = λh + o(h); 2) (0; t); n; = o(h); исходя из 2х постулатов определим , (0; t), (t; t+ h), = + + o(h). = , = + (1); n = 0: (t+h) = + o(h); = + , (2); (1) и (2) составляют систему ДУ, решив которую, можно определить интересующее нас . Д/этого ее необх снабдить нач-м условием: – в начальный м-т вр ничего не пр-ло, ; получается с-ма с нач условиями. Решает посл-но с ур-я (2): , , – это и есть распр-е Пуассона.

18. Процесс чистого рождения. ПЧР предп-ет что ∢-ся разрывный МП, пр-во сост-й кот ; - возможны только такие переходы; Постулаты: 1) ] t; ; = ; 2) = o(h); По сравнению с ППП обобщением явл-ся то, что в ПЧР вер-ть перехода зависит от состояния пр-са, однако она попрежнему от вр в кот этот переход сов-ся, т.е. пр-сс остается стационарный. Задача определить (t); ∢ (t), (0, t), (t, t+h); = + + o(h); = + + ; n > 0: = + (3); n=0: = ; = + ; = (4); , , ; Решение этой з-чи явл-ся весьма сложным, поэтому ∢-ют ее различные частные случаи. ∢ 1 из них – линейный процесс рождения (пр-с Юна-Фари); В прикладных обл-ях таким пр-ом описывается, например регистрация космических лучей, мутация генов нек популяции. Назыается линейный т.к. ; б считать что , тогда д/функции = (5); = { , n =1,2;; 0, n=0 }(6); (0) =1 Феллер, мат ож = = ; m(t) = + = = = = ; У лин ПЧР m(t) = ;