10. Связь между прямым и обратным ур-ми Колмогорова

] , , ∢ 3 последов-ых м-та времени ; Б считать что длина пр-ка времени в теч которого не меняется и имеет значение имеет плотность ( – длина пр-ка), тогда , ] (процесс стартует из состояния ); для этой ф-ии м записать след ур-е: (1а); + (1б) i/0|__(x)__j^^^^(t-x)^^^^k/t; ] , будем считать что - момент последнего скачка перед м-ом вр . Б пр-ть что в течении кон интервала времени совер-ся конечно число скачков. Вер-ть отсутсвия скачка = , плотность скачка из в = ; Тогда получим: = + (1а)(1б) – обратное ур-ие; (1) – прямое ур-ие; i/0^^^^^^x___k/t; перейдем к преобр-ию Лапласа: = (2); из 1а, 1б = (3); Перейдем к матричной форме записи ур-я (3), чтобы упростить дальнейший анализ. Что вводим: , , , , – единичный столбец ( ), - единичная матрица;; получим: = – обратное ур-е в матр-ой форме (4); = - Прямое (5); Чтобы построить лин-ое решение этих ур-ий будем полагать последовательно ; = (6); (7); ; ; Т.к. – ялвляются собстохостическими (т.е. суммы эл-в по строкам 1); их эл-ты это неубывающие ф-ии , ↝ (8), при этом – субст-ая или стохостическая м-ца. удовлетворяет обратному ур-ию и любое другое неотриц решение будет либо равно либо больше (9); ∢ прямое, перейдем к обратному: = (10) – также верно и для ; Используя (6): = (11), (выр-е в [ ] = ); умножим (14) слева на после умн-ия одновременно заменим на и получим ур-е (10). Последнее б верно для любого ; – решение прямого ур-я, т.о. доказана след теорема. Теор1: ] и удовл-ет ур-ям (4), (5). Причем для неотриц решений (4),(5) выполняется нер-во (9), т.е. - это мин-ое решение. ∢ еще раз ; Эти ф-ии явл-ся невозвр-ми по ; Т.о. предел (12); можно заметить = (13); ↝ для любого вектора, удовл-го (13), т.о. - max вертор удовл-ий (13), б наз-ть его дефектом по строке, т.о нами доказана Теор2: дефект по строке мин решение описываются макс в-ом , удовл-м (13); Из теор ↝ вывод: - строго стох-ая ; Следствие1: Если – ограничены для , то мин решение явл строго стох-им и ни прямое ни обратное ур-я не имеют др решений. Док-во: ∢ - явл-ся возраст-ей ф-ией , при этом мы можем утв-ть ; посл-ее нер-во спр-во , но это возможно если ч.т.д. Следствие 2: min реш явл-ся строго ст-им и !-ым, если в соотв-ей дискр МЦ все состояния возвратные. Теор3 (о пр-ах Р и Г): Каждое из след утв-ий явл-ся достаточным для того чтобы прямые ур-я Колм-ва д/пр-са Р и Г имели !-ое решение: а) ; б) и , где = ; Рис – график X( ) от ; t*, x, t, 1 случай – ушли в бесконечность до t*. Прямое в это случае не , а обратное имеет место Обратное не б стох-им а б субстох-им, его реш не б !-ым. 2 случай – -ое число скачков. Тоже не м написать прямое, но м написать обратное и тоже самое будет.