5. Уравнения Колмогорова для разрывного Марковского процесса со счетным пространством состояний.
]
есть нек случ пр-с X(t),
кот принимает зн-я из мн-ва E:
;
Введем ф-ю
;
∢
3 посл м-та вр
|----s----t-
МП
(12)
ур-е Колгоморова-Чемпмена
д/разр МП со счетн числом с-ий; Далее
считаем, что X(t)
есть одный по времени пр-с, тогда (12)
примет вид:
(
);
Пред, что: 1) д/любого En
-ет
непр ф-я
,
кот явл-ся неотриц-ой (
)
и для кот спр-во:
(13); 2) Для любых
и
(
)
-ет
(t)
д/которой спр-во:
=
-
усл вер-ть того, что если из сост j
произошел переход, то он произошел в
сост k;
При этом все ф-ии
явл непр и для
t,j
верно:
;
3) В пределе (12) сх-ть явл-ся равномерной
по j
для любого фикс k;
∢
3 м-та вр:
и опираясь на 12, м записать:
=
,
|-----t—(h)----t+h;
используя предп 1) делим обе части на
h:
=
+
2), 3) ↝
пр часть имеет предел, а значит, предел
имеет и левая часть, получим:
=
+
полученная система ДУ полностью
определяет переходные вер-ти
,
наз-ся прямой
системой. Построим обратную с-му ур-ий.
Д/этого м отпросить предп-ие 3), т.о.
опираемся на: 1)
;
2)
,
непр ф-я; Тогда
=
1) ↝
=
+
2) ↝
=
(
)
;
обратная с-ма; Пример:
^^^^^^^t/j__(h)___t+h/k__>
прямая система;
_(v)__
^^^^^^^^
- обратная с-ма
;
6. Процессы рождения и гибели и их классификация.
]
X(t)
– размер нек п-ии в м вр t,
кот м изменяться за счет рождения новых
членов п-ии или гибели уже сущ-их. События
рождения и гиб-ли происходят в сл м-ты
времени и X(t)
явл-ся сл пр-ом. Разрывный МП Р и Г
удовл-ет след постулатам: 1)
– состояние,
;
2)
;
3)
;
4) P{любых
др пер-ов за вр
} =
и состояние
является поглощающим; Б ∢
ф-ю
;
Исследуем эту ве-ть:
=
;
(1); *раскрывем скобки, P(x)
влево и
*
Получим ДУ:
,
= 1, 2, … (2);
т.к.
– поглощающее сост-ие
и ур-е примет вид:
(2’);
ур-я (2), (2’)
сост-ют с-му ОДУ, определяющую
;
Если популяция стартует из состояния
,
тогда к системе м добавить нач распр-ние:
В отличие от пр-са читого рождения, эта
с-ма не м.б решена рекурс-но. В общем
случае ее реш имеет весьма громоздкий
вид, поэтому ∢
один из её важных частн сл-ев – линейный
пр-с Р и Г.
,
,
;
Решают методом пр-ей ф-ии.
;
Умножим
ур-е с-мы (2)-(2’)
на
,
после чего сложим все ур-я и получим
след ур-е:
(3); Найдя 1-ые интегралы этого ур-я,
получим общее реш-е
(4); Учитывая нач усл
;
]
,
(5); Разложим правую часть (5) в степенной
ряд, после чего получим:
(6)
,
(7);
решение лин пр-са Р и Г; Используя (6) и
(7) найдем мат ож р-ра популяции:
;
(8) (
m
и D);
;
(t)
– вер-ть вырождения п-ии (т.е. в м-т вр t
раз-р п-ии = 0);
;
∢
;
Классификация ПРиГ
Опр:
пр Р и Г наз-ся возвр-ым эргодическим,
возвр нулевым или невозвр, если все его
сост имеют соотв-ие св-во. ]
;
,
,
;
1) Возвратный
;
2) Эргодический
и
;
3) Возвр нулевой
и
;
4) Невозвр
и
