Решение.
1)
Найдем вероятность попадания случайной
величины Х
в интервал (
),
применив формулу
Учитывая,
что а=15;
=2;
=16,
имеем
2) Найдем вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше , по формуле
.
Учитывая, что
=2,
имеем
.
9.
На станке изготавливают шарики для
подшипников. Номинальный размер диаметра
шарика 5 мм. Фактический размер диаметра
шарика вследствие неточности изготовления
представляет собой случайную величину
Х,
распределенную по нормальному закону
с математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением
Найти процент шариков для подшипников,
которые будут иметь диаметр от 4,8 до 5
мм.
Решение.
Найдем
вероятность попадания случайной величины
Х
в интервал (4,8;5,0), применив формулу
Учитывая,
что
,
,
,
,
имеем
.
Это означает, что практически 50% изготавливаемых шариков будут иметь размер диаметра от 4,8 до 5 мм.
10.
В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров
в каждом. В первом ящике один шар с
номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара
с номером 3; во втором ящике два шара с
номером 1, три шара с номером 2 и один
шар с номером 3. Рассматриваются случайные
величины: Х
– номер шара, вынутого из первого ящика;
Y
– номер шара, вынутого из второго ящика.
Из каждого ящика вынули по шару. Составить
таблицу распределения системы случайных
величин
.
Найти математические ожидания, дисперсии
X
и Y,
коэффициент корреляции.
Решение. Так как Х – номер шара, вынутого из первого ящика, Y – номер шара, вынутого из второго ящика, то возможные значения случайных величин будут 1, 2 и 3.
Вероятности
вычисляем по формуле
.
Так как шаров в первом ящике всего 6, а с номером 1 ровно один шар, во втором ящике 2 шара с номером 1 из 6, то
,
Аналогично
…
-
Y X
1
2
3
1
2
3
–
По таблице распределения вероятностей системы случайных величин составим законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках.
Х |
1 |
2 |
3 |
|
1/6 |
1/3 |
1/2 |
Y |
1 |
2 |
3 |
|
1/3 |
1/2 |
1/6 |
Такой результат имеет место, так как Х и Y независимы по условию.