Решение.

а) Поскольку число испытаний велико , а вероятность успеха в каждом из испытаний не близка к нулю или единице, то воспользуемся локальной теоремой Лапласа для нахождения требуемой вероятности:

, где . ;

. Тогда искомая вероятность .

Ответ: .

в) Для нахождения вероятности воспользуемся интегрально формулой Муавра-Лапласа:

.

.

Ответ: .

Пример выполнения типового расчета по теме «Случайные величины»

1.Из партии, состоящей из 20 изделий, среди которых две бракованные, случайным образом выбирают 5 изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайной величины X – числа бракованных изделий среди пяти отобранных.

Решение. Число бракованных изделий среди пяти отобранных может быть любым целым числом от 0 до 2 включительно, то есть возможные значения случайной величины X равны:

Найдем вероятности, с которыми эти возможные значения принимаются.

Ряд распределения имеет вид таблицы

X	0	1	2
P

Отметим, что

2. Случайная величина х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

X	–2	3	5
pi	0,2	P2	0,3

Найти , построить многоугольник распределения вероятностей. Найти и построить . Найти

Решение.

.

Многоугольник распределения строим, пользуясь данными ряда распределения.

p_i

По определению функции распределения , имеем

тогда

тогда

тогда

тогда

Итак,

Построим график F(x).

F(x)

Вычислим числовые характеристики случайной величины. Сначала найдём математическое ожидание по формуле .

.

Дисперсию вычислим по формуле .

Чтобы найти , составим закон распределения для в виде таблицы

X2	4	9	25
pi	0,2	0,5	0,3

Тогда .

Получим .

Находим среднее квадратическое отклонение: .

Ответ: .

3. Случайная величина X задана функцией распределения

.

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и интегральной функции распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

Решение.

Функцию плотности находим по формуле :

f(x) F(x)

.

4.Случайная величина X задана функцией плотности

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)

Решение. Параметр с находим исходя из условия нормировки для функции плотности :

Учитывая, что вне функция плотности равна 0, имеем

Вычислим интеграл, стоящий слева: Учитывая, что этот интеграл равен 1, получаем и Таким образом ,

Находим математическое ожидание по формуле

.

Имеем .

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

.

Имеем .

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле Имеем

Функцию распределения находим по формуле Учитывая, что она определена на всей числовой оси, имеем

Таким образом,

Вероятность принятия случайной величиной X значений на промежутке :

5.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин., равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин. поступит 2 вызова.

Решение. Случайная величина Х – поток вызовов распределена по закону Пуассона. Вероятность к вызовов за промежуток времени t определяется формулой

.

По условию, а = 2, t = 5, к = 2.

Тогда .

Это событие практически невозможно.

6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f (х)=1/(b–а), где (b–а) – длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f (х) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).По формуле Р (а < x < b) = F(a)–F(b) получим

Р (0,02 < x <0,08) = F(0,08)–F(0,02) = 10·0,08 – 10·0,02 = 0,6.

7

x

. Продолжительность безотказной работы элемента Т – случайная величина, распределенная по показательному закону, заданная плотностью распределения вероятностей , ( ), где – время,ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно не менее 100 ч.

Решение. Продолжительность безотказной работы элемента не менее t часов определяется с помощью функции надежности , глее – функция распределения. Для случайной величины Т, распределенной по показательному закону, , поэтому .

Искомая вероятность того, что данный элемент проработает безотказно не менее 100 часов, равна .

8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .

а=15; =2; =16; =25; =2.