6) Контурные уравнения.
Контурные
ур-ния основаны на втором з-не Кирхгофа
и з-не Ома. Применение этих ур-ний, кол-во
которых равно числу независимых контуров
,
обусловлено тем, что по известным токам
в хордах графа схемы замещения, число
которых равно k, можно однозначно
определить токи в ветвях дерева графа
и, тем самым – токи во всех ветвях. Таким
образом, выделяя блоки, соответствующие
ветвям дерева и хордам, можно записать
ур-ние 1-го з-на Кирхгофа в виде:
,
где
- столбцы токов в ветвях дерева и хордах
соответственно. Тогда
,
однако учитывая то, что
,
тогда получим:
.
Учитывая это разобъем столбец I на блоки
:
.
Поскольку при выборе системы базисных
контуров
,
то
и
.
Для определения тока
как функции параметров схемы замещения,
ЭДС в ветвях и задающих токов в узлах
воспользуемся матричным выражением
2-го з-на Кирхгофа:
.
Подставив это выражение в матрицу токов
в ветвях, получим
.
Таким образом, получаем систему k взаимно
независимых уравнений для определения
токов в хордах
:
.
Как известно, для системы базисных
контуров токи в хордах называются
контурными. Обозначив
,
получим окончательно матричное выражение
системы контурных уравнений:
- квадратная неособенная матрица порядка
k, называемая матрицей контурных
сопротивлений.
Решив
полученное ур-ние относительно
,
можно определить токи в ветвях дерева
схемы
(
),
падение напряжения на ветвях схемы и
напряжения узлов относительно
балансирующего. В результате решается
задача определения параметров
установившегося режима электрической
системы.
7)2-я матрица инциденций,2закон кирхгофа в матричной форме
Второй закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в контурах цепи, алгебраическая сумма падений напряжения на ветвях контура равна нулю. Для произвольного контура, содержащего l ветвей, уравнение имеет вид
.
(2.3)
Схема замещения электрической системы обычно является связанным направленным графом. Она состоит из ветвей (ребер), соединенных в узлы (вершины). Ветви образуют цепочки (пути графа), которые могут быть замкнутыми. Все величины, характеризующие состояние ветвей (ЭДС, токи, падения напряжения), имеют определенное направление.
Для направленного графа могут быть определены: 1) матрица соединений ветвей в узлах (первая матрица инциденций); 2) матрица соединений ветвей в независимые контуры (вторая матрица инциденций).
Матрица соединений ветвей в узлах – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа n, а число столбцов – числу ребер m.
M =(mij), i=1,...,n; j=1,....,m..
Матрица соединений ветвей в независимые контуры – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров графа k, а число столбцов – числу ветвей m.
N=(nij), i=1,……..k; j=1,……. m.
Матрицы М и N дают возможность записать уравнения состояния электрической цепи в матричной форме.
Второй закон Кирхгофа в матричной форме
(2.5)
где - столбец падений напряжений на ветвях схемы.