- •1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Определение понятий. Структура определения понятия через род и видовое отличие.
- •3. Понятие бинарного отношения между элементами одного множества. Способы задания отношений. Свойства отношений.
- •4. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на попарно-непересекающиеся подмножества или классы. Отношение порядка, его виды.
- •5. Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствий. Соответствие обратное данному. Взаимно-однозначные соответствия. Равномощные множества
- •6. Определение числовой функции. Способы задания функции. Прямая пропорциональность, ее свойства и график.
- •7. Определение числовой функции. Способы задания функции. Обратная пропорциональность, ее свойства и график.
- •8. Тмс натурального числа и нуля
- •9. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения
- •10. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Теорема о существовании разности.
- •11. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (теоретико-множественная интерпретация) Правило вычитания числа из суммы
- •Правило вычитания суммы из числа
- •12. Определение произведения целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Законы умножения.
- •13. Дистрибутивные (распределительные) законы умножения относительно сложения и вычитания целых неотрицательных чисел. Закон умножения относительно вычитания
- •14. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Условие существования частного.
- •Два типа задач
- •2)Деление на равные части:
- •15. Определение частного через произведение. Невозможность деления на нуль (с доказательством).
- •16. Правила деления суммы на число и числа на произведение (доказательство или теоретико-множественная интерпретация одного из них) Правила деления
- •Правила деления числа на произведение
- •17. Теоретико-множественный смысл деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел.
- •18. Понятие числового выражения, числового равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.
- •19. Понятие выражения с переменной и уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.
- •20. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел в десятичной системе счисления.
- •21. Алгоритм сложения многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе
- •22. Алгоритм вычитания многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе.
- •23. Алгоритм умножения многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе.
- •24. Натуральное число как результат измерения величин. Смысл сложения и умножения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
- •Сложение
- •Умножение
- •25. Натуральное число как результат измерения величин. Смысл вычитания и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
- •Вычитание
- •Деление
- •26. Понятие длины отрезка и ее измерения. Свойства длины отрезков.
- •27. Понятия площади плоской фигуры и ее измерения. Свойства численных значений площадей. Равновеликие фигуры.
- •28. Понятие дроби и положительного рационального числа.
16. Правила деления суммы на число и числа на произведение (доказательство или теоретико-множественная интерпретация одного из них) Правила деления
Для действия деления выполняются 2 правила:
правила деления суммы на число
правило деления числа на произведение
Правила деления суммы на число
Если натуральные числа а и b делятся на натуральное число с , то чтобы разделить сумму чисел а и b на число с, достаточно разделить каждое слагаемое на число с и полученные результаты сложить:
(а + b) : с = а : с + b : с
Частное, получаемое при делении суммы чисел а и b на число с, равно сумме частных получаемых при делении а на с и b на с.
Доказательство
Так как по условию число а делится на с, то существует натуральное число n, которое является частным чисел а и с
а : с = n, (n Є N)
По определению частного через произведение, получаем а = с*n
Так как по условию b делится на с, существует натуральное число m, которое является частным чисел b и с.
в : с = m, (m Є N)
Рассмотрим сумму чисел а и b:
а + b = с*n + c*m
По распределительному закону умножения относительно сложения, вынесем с за скобку.
c*(n + m), где n + m = p
Т.к. числа n и m натуральные, то их сумма – натуральное число.
а + b = с*n + c*m = c*(n*m) = c*p
В итоге получаем, что а + b = с*p
Это значит сумма чисел а и b делится на с, и частным будет p
а + b = с*p => (а + b) : с = p = n + m = а : с + b : с
Правила деления числа на произведение
а (в*с)
Если натуральное число а делится на произведение чисел b и с, то для того, чтобы разделить число а на произведение чисел b и с, достаточно число а : в (с), а затем полученный результат на с (в)
а*(b*c) = (а : b) : с
а*(b*c) = (а : с) : b
Рассмотрим теоретико-множественную интерпретацию
Пусть а = 12, b = 2,с = 3
Возьмем множество А, которое содержит 12 элементов
Рассмотрим левую часть
1) найдем произведение b и с
в*c = 6
2) разделим число а на произведение чисел b и с
а : (b*c)
При делении множества А, разбивается на 6 классов, в каждом из которых по 2 элемента.
Рассмотрим среднюю часть
1) найдем частное чисел а и b. При делении множество А разбивается на 2 класса, в каждом из которых по 6 элементов
а : в = 6
2) полученное частное разделим на число с. При делении каждый класс разбивается на 3 класса, в каждом из которых по 2 элемента
(а:в):с=2
Рассмотрим правую часть
1) разделим а на с. При делении множество А разбивается на 3 класса, в каждом из которых по 4 элемента
а : с = 4
2) полученное частное разделим на b. При делении каждый класс еще разбивается на 2 класса, в каждом из которых по 2 элемента
(а : с) : b = 2
Мы видим, что число а мы делим на произведение чисел b и с по-разному, но при этом получили одинаковые результаты, что подтверждает истинность данного правила.