14. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Условие существования частного.

Разделим целое неотрицательное число а на натуральное число b.

Возьмем множество А, n(A) = а. При делении а на b множество А разбилось на попарно непересекающиеся равномощные подмножества или классы.

Если делитель b показывает количество элементов в каждом классе, то частным называется число таких классов.

Если делитель b показывает количество классов, то частным называется число элементов в каждом классе.

Действие, при помощи которого находят частное, называется делением.

Действие деление взаимосвязано с действием умножения. Эта связь находит свое отражение по определению частного через произведение.

Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b, называется такое целое неотрицательное число с, которое при умножении с b дает а.

а : b = с , а = b*с

В множестве натуральных чисел мы не всегда можем найти частное.

Условия существования частного:

Для того, чтобы частное натуральных чисел существовало, необходимо, чтобы а ≥ b (но оно не всегда достаточно).

Это условие можно перефразировать по-другому:

Если частное натуральных чисел а и b существует, то а ≥ b.

Если а = 0, то частное 0 и натуральные числа существует всегда и равно 0, т.е. 0 : b = 0.

0 : b = 0 – по определению частного через произведение получаем 0 = b*0, но b*0 = 0,  по определению произведения из школьного курса, пункт 3, => 0: b=0 – истинное числовое равенство (и.ч.р.)

Два типа задач

В начальном курсе математики дети знакомятся с конкретным смыслом действия деления на примере двух типов задач: деление по содержанию и деление на равные части.

1) Деление на содержание. Задача: 8 апельсинов разложили на тарелки по 2 апельсина в каждую. Ск. потребовалось тарелок? (4 тарелки) а:b=с (8:2=4)

Множество А разбилось на равномощные классы. Число 2 показывает количество элементов в каждом классе. Частное 4 показ. число классов.

2)Деление на равные части:

8 яблок разложили в 2 вазы поровну. Ск. яблок в каждой вазе? (8:2=4)

В этой задаче произошло разбиение множества А на классы.

Число 2 показывает количество классов, а частное 4 показывает число элементов в каждом классе.

15. Определение частного через произведение. Невозможность деления на нуль (с доказательством).

Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b, называется такое целое неотрицательное число с, которое при умножении с b дает а.

а : b = с, а = b*с

В множестве натуральных чисел мы не всегда можем найти частное.

Невозможность деления на ноль

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с правилом на ноль делить нельзя.

Докажем это:

Возьмем целое неотрицательное число а и b = 0. Так как число а – целое неотрицательное, то возможно два случая:

1) a не равно 0

2) a = 0

Будем доказывать методом от противного:

Предположим, что на а делить можно, то есть частное чисел а и b существует. Это значит, что существует такое целое неотрицательное число с, которое является частным чисел а и b.

а : b = c

По определению частного через произведение получим, что а = с*b

Подставим вместо b его значения а = c*b

a = c*0

Но c*0 = 0 (по определению произведения из школьного курса, пункт 3) =˃ а = 0

Получим противоречие с условием

Наше предположение неверно, то есть на ноль делить нельзя

Рассмотрим второй случай (а = 0):

Проведя те же самый рассуждения получаем, что а = с*b

Подставим вместо а и b их значения

Получим верные равенства

Но при этом число с может принимать различные значения, что противоречит единственности частного.

Поэтому в математике договорились, что и в этом случае на ноль делить нельзя!